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华东师范大学硕士学位论文数字图像中信息缺损区域的填补问题姓名：杨晶晶申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：沈纯理20070501摘要偏微分方程在图像处理中的应用是一个比较新的课题由于它可以准确地对图像建模，从而很好地解决了图像处理中的许多复杂的问题如今，偏微分方程已广泛地应用于图像处理的各个方面本文首先详细介绍了图像恢复中的各类噪声模型，并说明消除这些噪声的影响即为图像恢复；接着指出目前解决这类问题的两类基本的办法：能量法(当然其最后还是要归结为求解P D E 的问题)和P D E 法；有关能量法，本文就一些细节问题(如正则化，参数A 的性质等)进行了讨论；最后重点讨论了运用几何分析中的P D E 方法如何对静态数字图像进行填补(恢复)对于灰度图像，我们将此问题转化为一个P D E 方法问题首先，我们用图像的拉普拉斯：，=厶。+(下标表示导数)来光滑估计图像，用等照度线的方向：=V p 作为图像信息传播的方向，再运用差分，可得到填补方程；为得到更好的结果，在进行填补之前，我们需要对初始图像进行一次扩散同时，由于我们的填补是使得到达被填补区域边界的等照度线在该区域内部得到光滑“延长”，为避免在区域内部出现交叉的情况，我们在进行了若干次填补后也需要进行若干次的各向异性的扩散，如此再填补，之后再扩散，直到算法稳定即扩散(次)一+填补(若干次)+扩散(若干次)一+填补(若干次)一+扩散(若干次)一+需要特别指出的是，相对于之前的一些算法，我们的算法不需要使用者指出新的信息来自哪里，对被填补区域的拓扑也不需要作任何限制，而且可以同时填补几个完全不同结构不同背景的区域，并且速度比较快、效果好这个算法可以应用于旧照片、老电影的回复；日期、邮戳等文本的移除：也可以将整个物体移除针对彩色R G B 图像，我们可以将其转化为三个灰度图像，再分别运用上述方法填补后再合成即可关键词：偏微分方程，各向异性扩散，图像填充，等照度线方向，光滑估计A b s t r a c tT h eu s eo fP D Ei ni m a g ep r o c e s s i n gi san e w e 翻x 咄t o p i c I t sm a t h e m a t i c a lm o d e lc a r lr e p r e s e n ti m a g ea c c u r a t e l ya n dc a L r ls o l v em a n yc o m p l i c a t e dp r o b l e m s N o w，P D E sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nm a n ya s p e c t so fi m a g ep r o c e s s i n g I nt h i st h e s i sw eg i v es o m ep r e c i s e 础o r m a t i o na b o u tw h a tw em e a nb yd e g r a-d a t i o no rn o i s e T h i si sa c t u a l l yad i f f i c u l tq u e s t i o n，a n dw ef o c u so nas i m p l em o d e lw i t ha d d i t i v en o i s ea n dc o n v o l u t i o nb yal i n e a ro p e r a t o rf o rt h eb l u r F i r s t，w ep r e s e n tr e s t o r a t i o nt h r o u g ht h em i n i m i z a t i o no faf u n c t i o n a li n v o l v i n gt w ot e r m s：af i d e l i t yt e r mt ot h ed a t ap l u sar e g u l a x i z a t i o nt e r m W ed i s c u s ss o f n eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so ft h er e s t o r e di m a g e；T h e n，aP D E-B a s e dm o d e li sp r o p o s e d W ed e v e l o pt h em o d e la n di t sm a t h e m a t i c a lj u s t i f i c a t i o ni nd e t a i l F o rg r a yl e v e li m a g e，w et r a n s f o r mt h i sp r o b l e mt oav a r i a t i o n a lp r o b l e n=LW eu s eas i m p l ed i s c r e t ei m p l e m e n t a t i o no ft h eL a p l a c i a n：A I=+t ob ea ni m-a g es m o o t h n e s se s t i m a t o r a n du s et h ei s o p h o t e sd i r e c t i o n st ob et h ep r o p a g a t i o nd i-r e c t i o n：N=V I 上，t h a ti s，w ee s t i m a t eav a r i a t i o no ft h es m o o t h n e s s，g i v e nb yad e-s c r e t i z a t i o no f2 DL a p l a c i a n，a n dp r o j e c tt h i sv a r i a t i o ni n t ot h ei s o p h o t e sd i r e c t i o n T h i sp r o j e c t i o ni su s e dt ou p d a t et h ev a l u eo ft h ei m a g ei n s i d et h er e g i o nt ob ei n p a i n t e d t h e nw eg e tt h ei n p a i n t i n ge q u a t i o n T oe n s u r eac o r r e c te v o l u t i o no ft h ed i r e c t i o nf i e l d，ad i f f u s i o np r o c e s si si n t e r l e a v e dw i t ht h ei m a g ei n p a i n i m gp r o c e s sd e s c r i b e da b o v e T h a ti s，e v e r yf e ws t e p s，w ea p p l yaf e wi t e r a t i o n so fi m a g ed i f f u s i o n T h i sd i f f u s i o nc o r r e s p o n d st ot h ep e r i o d i c a lc u r v i n go fl i n e st oa v o i dt h e mf r o mc r o s s i n ge a c ho t h e r W eu s ea n i s o t r o p i cd i f f u s i o n，i no r d e rt oa c h i e v et h i sg o a lw i t h o u tl o s i n gs h a r p n e s si nt h er e c o n s t r u c t i o n，t h e nw eg e tt h ea n i s o t r o p i cd i f f u s i o ne q u a t i o n I nc o n t r a c tw i t hp r e v i o u sa p p r o a c h e s，t h i st e c h n i q u ed o e sn o tr e q u i r et h eu B e rt os p e c i f yw h e r et h en o v e li n f o r m a t i o nc o m e sf r o m T h i si sa u t o m a t i c a l l yd o n e(a n di naf a s tw a y)，t h e r e b ya l l o w i n gt os i m u l t a n e o u s l yf i l l-i nn u m e r o u sr e g i o n sc o n t a i n i n gc o m op l e t e l yd i f f e r e n ts t r u c t u r e sa n ds u r r o u n d i n gb a c k g r o u n d s I na d d i t i o n，n ol i m i t a t i o n s华东师范大学硕士学位论文a r ei m p o s e do nt h et o p o l o g yo ft h er e g i o nt ob ei n p a i n t e d A p p l i c a t i o n so ft h i st e c h-n i q u ei n c l u d et h er e s t o r a t i o no fo l dp h o t o g r a p h sa n dd a m a g e df i l m；r e m o v a lo fs u p e r-i m p o s e dt e x tl i k ed a t e s，s u b t i t l e so rp u b l i d t y；a n dt h er e m o v a lo fe n t i r e 洲e c bf r o mt h ei m a g el i k em i c r o p h o n e so rw i r e si ns p e c i a le f f e c t s F o rc o l o ri m a g e，w ec o n s i d e ri ta sas e to ft h r e ei m a g e s，a n dt h ea b o v ed e s c r i b e dt e c h n i q u ei sa p p l i e di n d e p e n d e n t l yt oe a c ho n e K e y w o r d s：P a r t i a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n，i m a g ei n p a i n t i n g，a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n，i s o p h o t e sd i r e c t i o n，s m o o t he s t i m a t o r 插图1 1 一部电影中的三个连贯的结构图，是使用相近结构的信息来填补空白区域的21 2 利用 1 1 1 中的方法，使用者必须指出是用哪些信息来填补Q 的31 3 利用 1 6 1 中的技术，在边界处用直线连接相同灰度值的点32 1 一幅建筑图62 2 一些噪声模型，其中(a)是图1 1 的左上角那一部分72 3T 是等照度线的切向，N 是等照度线的法向1 03 1 左边是初始的图像，右边是恢复好了的图像2 23 2 第一(二)排的图像分别是使用梯度的C W(C C W)旋转的填补过程2 23 3 最右边为恢复好了的图像2 33 4 旧照片的恢复2 43 5 从(a)依次N(0 为水果静物图的恢复2 5V I学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。学位论文作者签名：弛晶晶签字日期：，叮反童学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：主b 晶墨一导师签名：签字日期：生2：!生签字日期：第1 章引言图像填补，即是以一种未知方式对图像进行修补，这是一门非常古老的技术其用途有很多，如照片中瑕疵，电影里的抓痕和粉尘的恢复；邮戳日期的添加和移除：从照片中去除红眼；喷枪文本的移除等等【1 J 本章主要介绍了一些基于P D E 的图像填补算法及其模型的发展这些模型以沿着等照度线进行信息传播和能量泛函的极小化为基础，并且这些公式还可以被延拓j i l 3 维曲面，用来处理曲面中”洞”的恢复的问题(这是一个与图像填补密切相关的问题)由于传统的基于P D E 的图像填补算法都不能恢复纹理，因此我们讨论了这些算法和纹理合成算法的合成算法我们也简单回顾了有关图像填补问题的一些其它算法早在文艺复兴时期就已经有了艺术品的恢复工作，当时的工作主要是对中世纪时期的画像进行更新，填补所出现的问隙以及断痕【2，3】这个也叫做”润饰“填补是对艺术品的缺失或受损部分进行重建或修复，是为了让作品更清晰，从而恢复其整体性【2】不论是艺术品，照片还是电影，对它们的润饰必需是细微的不明显的首先我们会注意到经典的图像去噪算法是不能应用于图像填补的一般来说，图像像素包含着两层信息：真实的数据信息和噪声当进行图像填补时，在被填补区域里是没有重要信息的，我们所要用到的主要是被填补区域的周围信息有关数字图像填补的文献很多，大致上可以分为以下三类：第一类主要是对电影的修复；第二类是纹理合成；第三类是选定物体的移除1 1 电影的修复K o k a r a me ta 1【4】使用运动估计和回归模型从邻近结构推得被填补区域的信息其基本思想是把邻近结构信息直接复制到目标区域(图1 1)当目标区域有较多的结构时，此方法不能应用，因此有很大的局限性1 2 纹理合成在E f r o s 和L e u n g S 提出有关纹理合成的M a r k o v 随机理论后，纹理合成技术得以迅速发展这些技术都是稳定的局部的【6】在【5】中通过考虑模板纹理的邻近相似信息可以逐渐合成一种新的纹理；I g e h y 和P e r e i r a 7 按照给定的要求用合成的纹理成功取代了图像的目标区域；A s h i k h m m 8 改进了算法，使得合成的纹理能够匹配给定的图像；E f r o s 和F r e e m a n 9 介绍了一种简单有效的纹理合成技术，即将已选好的纹理模块“缝12第1 章引言图1 1：一部电影中的三个连贯的结构图，是使用相近结构的信息来填补空白区域的合”起来从而产生一种新的纹理，所选模块的尺寸是作为参数而存在的，使用者可根据纹理的性质自由调整，该算法的结果也是依赖于这个参数的；H i r a n i 和T o t s u k a 1 0 为用指定纹理去填补某个区域把图像的时间和空间信息有机地结合了起来H i r a n i 和T o t s u k a 1 l l 是使用已选定的纹理来填补目标区域这个算法非常简单，而且效果也很好但是另一方面，这种算法是用于处理没有结构背景的纹理合成，还要求使用者指出新的纹理来自哪里(图1 2)一旦目标区域含较多结构时使用者不得不把它分割开来，同时还要在图像中寻找对应的新纹理来填补目标区域，虽然某些搜寻工作可以自动完成，但是还是要花费大量时间其它的纹理合成的算法 1 2，1 3,1 4 也是在指出新纹理来源后才能重建目标区域在本文的第三章我们还详细介绍了利用基于P D E 的图像填补技术纹理是如何被合成的1 3 选定物体的移除在第三类有关物体移除的算法里，文献1 1 5 1 起了非常重要的作用它提出了一种用于移除”阻塞”的新方法其基本思想是用可伸缩的极小曲线在相同灰度值处连结T 形结点这个方法主要用于简单图像(图像中只有少数物体，且物体有常灰度值)M a s r i o u 和M o r e l 1 6 发展了这个思想，提出了一个全变分公式和一个新的算法，这个算法是用测地线来连接到达被填补区域边界的等照度线(即具有相同灰度值的线)上的点，但是此算法要求目标区域的拓扑结构是简单的(如区域中不能有”洞”等)另外到达目标区域边界的线的角度不能得到很好的保持由于此算法是用直线来连结有相同灰度值的像素的(图1 3)，其缺陷性之后会详细说明同时也会说明它能被我们的算法所克服最后让我们回忆下用于填补图像信息缺损区域的几何方法其中D M u n f o r d 和M N i t z b e r g V A 及T S h i o t a 1 7 作出了里程碑似的贡献他们并不是直接考虑要如何恢复图像华东师范大学硕士学位论文3图1 2：利用1 1 1 中的方法，使用者必须指出是用哪些信息来填补Q 的图1 3：利用 1 6 1 中的技术，在边界处用直线连接相同灰度值的点4第1 章引言的信息缺损部分，而是把图像分割成几个具有不同背景层次的部分其分割泛函要求满足三个条件：(1)要能找出哪个是”阻塞”部分；(2)能找出哪个是被”阻塞”部分；(3)还要能找出被”阻塞”的边界为此，他们使用了格式塔心理学的一个基本原理：我们的视觉体系是能够部分完善被阻塞的边界的，并且这个完善过程是遵守光滑连续性原理【1 8 1 的当一个物体阻隔了另一些物体，其阻塞边界形成了一种叫做T 形结点(交叉点)的特殊结构时我们的视觉体系会自然地光滑延长被阻碍的物体在文献【1 7 1 中，作者综合考虑了不同物体的背景层次以及在T 形结点处的边界能量后提出了一个能量泛函他们假定所要得到曲线是尽可能短的，并且也是遵守光滑连续性原理的为定义未知曲线的能量，他们给出一个数学公式：已知两个T 形结点nq；以及在这两个结点处的切线和勺，有如下的能量：r，、m i n (a+p K 2)d 8 L J cJ这里的c 是指所有的包含结点P，口以及切线和的曲线相应的K 是c 的曲率山是弧长a，口是正常数值得一提的是，M s 锄o u 和M o r e l 1 9 1 由此获得启发，提出了一个用于2 维灰度图像恢复的变分公式由于信息缺损部分也可以看作是藏于我们想要恢复的图像的一种阻塞，因此他们也把这个恢复过程称之为去闭塞他们的算法是将到达被填补区域边界的等照度线上的点连接成测地线来进行图像填充的在M n m f o r d，M a s n o u 和M o r e l 等人工作的基础上，B e r t a k n i o t 和S a p i r o 以及C a s e l l e s和B a l l e s t e r 2 0 提出了一个用于图像填补的边界传播P D E 这个三阶P D E 传播了到达信息缺损区域的水平线，并且这个传播是遵守光滑连续性原理的B e r t a l m J o，B e r t o z z i和S a p i I D【2 1】还说明了该方程与N a v i e r-S t o k e s 方程之间的联系文献【2 2 1 中的方法还能应用于3 维图像填充和曲面中洞的恢复1 4 本文所做的工作和文章的结构本文主要的工作有以下的几个方面：(1)总结了用偏微分方程求解图像恢复问题的数学模型；(2)把连续的偏微分方程离散化并总结了离散化偏微分方程的方法；(3)用偏微分方程解决图像恢复问题，并取得了比较好的结果；本文下面几章的结构如下：第二章介绍了图像处理中的退化和噪声，极小化问题的正则化以及正参数A 的一些重要性质第三章介绍了连续偏微分方程在图像处理中的实际应用，详细介绍了填补方程的得来及其离散化方程，以及为保证算法的稳定性而引入的各华东师范大学硕士学位论文5向异性扩散方程及其离散化方程，并给出了实例图，我们可以看到该算法效果还是比较好的第四章总结了全文并对今后工作提出了一些展望第2 章图像恢复2 1 介绍在这一章里，我们将详细介绍我们所说的退化和噪声当然，想对退化和噪声给出明确的定义是非常困难的在这里我们仅讨论一些简单模型如加性噪声和通过线性算子的卷积而形成的模糊等一般来说，图像退化是由两个因素造成的其中起决定作用的一个因素是图像获得的方式来源以及图像本身的缺陷(比如镜头对焦不好所引起的模糊等)，另一个因素是大气层的湍流，这个是随机的在求知图像退化的方式时，我们要做的就是选择一种尽可能正确的退化方式在大多数情况下，我们要用至l J G a u s s i a n 函数当然具体情况具体分析，如雷达图像用到的是g a m m a 函数；X 光照片用到的是P o i s s o n 函数图2 2 描述了一些形式的退化图2 1：一幅建筑图6华东师范大学硕士学位论文7图2 2：一些噪声模型，其中(a)是图1 1 的左上角那一部分8第2 章图像恢复我们的目的是对消除这些退化的方式进行解释，对这些方法我们用一个统一的专业术语，称之为图像恢复(或图像填充)通常地，对一幅图像的噪声我们并不能判断其具体类型在这里我们也主要是对一些受损的图片进行恢复既然图像退化的方式未知，我们就得作一些必要的假设一般地，我们令让：QC 衅一R(即是我们想要得到的图像)，咖是已有的退化了的图像，我们假设：蛳=辨“+r(2 1)这里，目表示高斯白噪声，孵是一个表示模糊的线性算子(通常是某种卷积形式)已知 U o我们要利m(2 1)式重构让易见，这是个病态(i l l-p o s e d)f 司，我们仅能得到牡的逼近解2 2 能量法求解2 2 1 逆问题令“是未知的真实图像，U o 是已知的图像(是“的某种退化)其退化方式为(2 1)式中所述那么利用(2 1)式由u o 求出u 就足一个典型的逆问题 2 3，2 4 1 由于我们对噪声口所知甚少，所以这个求逆的问题是非常困难的我们假定町为高斯白噪声，那么通过求解：i n f I u o 一孵“1 2 d x(2 2)我们可以得到u 的一个逼近解(这里的Q 是图像所在的区域；I I 表示欧氏范数)若(2 2)式的极小解存在，那么它一定满足方程：9 t+u o 一贝+=0(2 3)其中孵是辨的伴随算子由于孵贝不总是一一的，所以(2 3)式也是一个病态方程(即使孵9 t 是一一的，由于它的特征值可能很小，也会产生数值振荡)为此，我们的想法是正则化(2 2)式，即考虑一个与(2 2)式密切相关的问题并把它的解作为我们的想要的那个唯一解2 2 2 问题的正则化解决上述病态极小化问题的一个经典办法就是给能量加入一个正则项这个想法最早是在1 9 7 7 年I 由A u b e r t 和T i k h o n b v 2 5 提出，他考虑的是如下的极小化问题：脚)=Z I 咖一1 2 d z+A Z 胁1 2 d x(2 4)华东师范大学硕士学位论文9这里，F(“)的第一项称之为保真项，第二项称之为光滑项(或正则项)换言之，我们要寻找一个最优的U，使得它的梯度达到极小，从而噪声得到移除参数A 是正权常数为使得上述两项都有良好定义，我们考虑的空间是：w 1 2(Q)=让L 2(Q)；V u L 2 C a)2在对算子辨怍一些适当性假设后，这个问题i n f F(u)，札W 1,2(Q)是有唯一解，且其E u l e r-L a g r a n g e 方程为：孵+孵u 一撒咖一)t A u=0且有N e u m a n n 边界条件：象=0o n 加其中是加的外法6 1 那么(2 5)式的解是否能作为我们初始的恢复方程(2 2)式的解呢?我们说这是不能的因为L a p l a c i a n 算子有很强的各向同性的光滑性，它不能保持边界，同样地，在(2 4)式中，当P=2 时的V u 的舻范数使得我们消去噪声，但同时它也”惩罚”了太多的边界附近的梯度信息为尽可能地保持边界，我们可以减小p R u d i n，O s h e r，F a t e m i 2 6，2 7 1 就做过这方面的工作，他们建议在(2 4)式中使用V u 的L 1 范数(即全变分)来代替L 2 范数：F(u)2 Z 一撒u 1 2 出+A f l V u I 出为了更清楚地了解正则项(光滑项)的影响，我们来考虑如下的能量【2 8，2 9 1：E(札)=-l f l=o 一 2 出+A 妒。亿因此，在所有的I V“f 比较小的点处，(2 8)式变为：9 t+9 t u A(o)(t n，+t)=9 t u o注意到，嘶T+“=A u，因此有：9 1 孵札一A 西”(O)A u=9 t*U o(2 1 0)即在所有这些点处，t 局部地满足一致椭圆方程(2 1 0)，该方程在各个方向都拥有很强的正(2)在边界C 的某个邻域里，图像的梯度比较大为保持边界，我们期望在T 方向沿着c 扩散(注意，扩散不能越过c)为此，在这些梯度比较大的地方，我们要使(2 8)式中U N 的系数尽可能接近0，同时t 灯?的系数不为O：熙掣【。里掣=胁0。但可惜的是，这两个条件是不相容的那么我们必须找到一种折衷的办法，如(8)和(s)s 都收敛到0(当s 一+o。时)，但是收敛速度不同：J。1 i+m o o 妒(s)-。里华=ol。一l i r a+。引州。=o满足(2 9 卜-(2 1 2)式的函数有很多，如：妒(s)=、而j(2 1 2)(2 1 3)第2 章图像恢复2 2 3A 的一些性质这里我们考虑的是当(2 6)式中的吼=谢时的问题：i n f E(u)=Z I 蛳一“1 2 出+A f(I V u I)出)(2“)我们已经知道，(2 1 4)式有唯一解这里我们只讨论A 的一些性质我们假定：西是严格凸的；：R+一R+，满足(O)=o，l i m 妒(s)=+o o 且是线性递增的，即存在常数c O,b 0，使得C 8 一b 妒(s)+b 对协0 成立；u o 妒(Q)；E(u)的极小解记为u(x，A)。为简单起见，我们还假定“(，A)w 1,1(n)nL 2(n)由定义，对V W 1,1(Q)f l 舻(Q)有：j Z 卅嘶炉血+Aj Z M 圹嘶炉血+A多(I V u(z，A)I)d z妒(1 W(x)1)d x(2 1 5)由于n(z，A)为极小解，那么它也满足E u l e r-L a 伊a 1 1 9 e 方程：舷u(z,x)-u o(z“d i v(错乳A)饥Q【错翥(而A)=0o n a Q令乃：L 2(Q)一L 2(Q)，满足T (u o)=乱(A)这里t(A)=u(x，A)定理2 1：(A 的不变性)(1)灰度值不变性死0=0；乃(蛳+c)=乃u o+CV c(2)平移不变性若()(，)(z)=S(x+)，则A h 咖)=(A 咖)(3)等距不变性令(冗，)(z)=，(冗z)是R 2 中的一个等距，：R 2 一R，那么，A(7 z 蛳)=冗(A t l 0)上华东师范大学硕士学位论文定理2 2：牡(，A)的L 2 范数是一致有界的(不依赖于参数A)i d：H B：令【z 1 5)瓦甲嗣=0，田十(o J=0，所以有：上J 让一蜘1 2 血+A Z 删V 札I)血 上I 蛳1 2 出，又是递增的，故0，从而矗l u 一蛳1 2 d z 厶l 1 2 d x，所以有I I u 一乱0 0 pSl l u o lr L。1 1 2,l l L 2 0 0 0 L 2 I I“o l l L 2，故I l u l I L 2-0(3 1 0)伊 0第3 章P D E 在图像填充中的应用饬。=r a i n J”(t，J+1)一P(i，J)，o 在实际计算时，我们要先在(3 刀式中计算图像的2 D 光滑估计厶再计算(3 8)式中的等照度线方向U I U l，然后在(3 9)式中计算矿：6 L 在向量上的投影，也即要计算信息沿着膏方向上的变化，最后我们利用(3 a o)式计算出l V P(t，J)I，让它与眇相乘可得至t J(3 5)式在这里我们用的是中心差分格式，下标b 和，分别定义为相应的向后差分和向前差分，下标m 和M 为对应的导数和零之间的最小值和最大值为简略起见，在(3 1 0)式我们省略了坐标(i，J)需要注意的是，我们计算(3 4 卜(3 1 0)式时是在Q 的一个扩张后的区域Q 中进行的，但是信息的更新只限于Q 内部事实上我们是将窄带偿一Q 中的信息传播到了Q 内，在这个信息的传播过程中，我们的算法不仅传播了灰度值，也把等照度线的方向传播了过去在迭代过程中，我们每次进行了A 步填补后(利用(3 4)式)，就要作B 步扩散，然后再作A 步填补，如此循环直至算法收敛总的迭代次数记为T 次，这个数可以事先设定，也可以在迭代过程中给出临界值从而限制它，当然它是依赖于被填补区域n 的尺寸的这里，我们是令A=1 5，B=2 A t=0 1 3 3 扩散方程及其离散化3 3 1 准备工作我们考虑形如下式的非线性抛物型微分方程：，I 玺=a(I c V u l)l V“I d i v 尚气Iu(O,z，y)=如(马Y)这里u o(x，Y)是将要被处理的图像的灰度值，u(t，z，Y)是在尺度参数t 时被光滑化的图像，G 是磨光核(例如高斯核等)，G V u 是在去噪时对V u 的局部估计，并R g(s)是一个单调递减的实值函数，满足当s 0 0 时趋向于零一般来说，这种形式的方程有如下的两点性质：(1)l V t ld i v 尚=A u D 2 u(V u,V u)V u 2，这是一个退化的扩散项，它只在正交于V u 的方向扩散，在V u 的方向上却一点儿也不扩散(这里，D 2 u 表示u 的H e s s i a n 矩阵)这个退化项的作用是磨光”边界”(这里的”边界”是指梯度变化比较大的线)(2)9(G V u l)是边界加强项事实上它控制着扩散的速度：在某个点z 的一个小领域里，若V u 比较小，则该点z 被视为区域内部的点，此时的扩散是强的；若V u 比较大，则该华东师范大学硕士学位论文点z 被视为边界上的点，因为a(s)是随着8 的增大而减小的，所以此时的扩散很弱即这种形式的方程是对图像进行可选择性的磨光，同时又会尽可能地加强和保留边界信息3 3 2 扩散方程及其离散形式我们使用的各向异性扩散方程为【3 5，3 6 1：并(。，Y，)=雏(z，!，)K(x，Y，t)I V I(z，Y，t)IV(z，)f F(3 1 1)劫：ov(置彩瓣【lv(x，)Q且啦是光滑的，曲率K=d i v(品)厶=骆d i v(尚)I V 列离散化后化为：，州(=P(t，J)+型等翳俨(i，j)A t3 4 实验结果在进行填补时，c P u 的运行时间是与Q 的尺寸有关的，Q 尺寸越大，C P U 的运行时间就越长当Q 比较大时，为减少运行的时间，我们常常把Q 分成好几个小块，分别运行我们的算法图3 1 的左边是一幅合成图，其白色区域是将要被填补的区域Q 这里的Q 比较大(直径有3 0 个像素)，并且n 中间含有一个洞；右边是填补好了的图像注意到轮廓线也被恢复了图3 2 说明了V，是沿顺时针(C w)方向旋转9 0。还是沿逆时针(c c w)方向旋转9 0。是不会影响到最终结果的图中上一行表示C W 旋转，下面一行表示C C W 旋转从图中我们可以看到，即使在开始时效果有所不同，但达到稳定时结果是一样的图3 3、3 4 以及3 5 是该算法的一个应用我们可以看到，那些划痕都被去掉了第3 章P D E 在图像填充中的应用图3 1：左边是初始的图像，右边是恢复好了的图像图3 2：第-(-)排的图像分别是使用梯度的a(C C W)旋转的填补过程华东师范大学硕士学位论文图3 3：最右边为恢复好了的图像2 4第3 章P D E 在图像填充中的应用图3 4：旧照片的恢复华东师范大学硕士学位论文图3 5：从(a)依次N(O 为水果静物图的恢复第4 章总结和展望4 1 总结本文说明了图像恢复(填充)的起缘和意义详细介绍了图像恢复中的简单噪声模型，为更好地说明还给出了实例；接着指出目前解决这个图像问题有两种基本的办法：能量法和P D E 法本文就能量法的些细节问题(如正则化、参数A 的性质等)进行了讨论，在本文里，我们并没有详细讨论能量泛函及如何最小化该能量泛函我们的重点是第二种方法：即讨论运用几何分析中的P D E 方法如何对静态数字图像进行填补(恢复)对于灰度图像，我们将此问题转化为一个P D E 方程问题首先，我们用图像的拉普拉斯来光滑估计图像，用等照度线的方向作为图像信息传播的方向，再运用差分，可得到填补方程i 为得到更好的结果，在进行填补之前，我们需要对初始图像进行一次扩散同时，由于我们的填补是使得到达被填补区域边界的等照度线在该区域内部得到光滑“延长”，为避免在区域内部出现交叉的情况，我们在进行了若干次填补后也需要进行若干次的各向异性的扩散，如此，再填补，之后再扩散，相对于之前的一些算法，我们的算法不需要使用者指出新的信息来自哪里，对被填补区域的拓扑也不需要作任何限制，就算是填补区域比较大，我们也可以将之分成几个比较小的区域，分别进行填补，因此我们算法可以同时填补几个完全不同结构，不同背景的比较大区域，并且速度比较快效果好这个算法可以应用于旧照片，老电影的回复；日期、邮戳等文本的移除；也可以将整个物体移除，其应用范围非常广针对彩色图像，例如R G B 图像，我们可以将其转化为三个灰度图像，再分别运用上述方法填补后再合成即可对彩色图像我们也给出了实例图4 2 未来研究展望本文详细地介绍了偏微分方程在图像恢复中的实际应用，还讨论了应用于图像填补的偏微分方程的离散化形式，并给了详细过程偏微分方程可以用来处理图像和计算机视觉中的许多闻题，在这个领域中还有许多工作需要继续研究。它们包括：(1)偏微分方程的新的应用和新的模型在我们的这个模型里，我们是用图像的拉普拉斯来光滑估计图像信息的，这种估计方法要求用到图像离散化后三层网格点信息，即在编程时用到的初始数据必须有三层，我们希望可以找到一种更好的偏微分模型，使得用到的初始数据可以变成一层，从而降低算法的繁杂度并提高我们运算速度；2 6华东师范大学硕士学位论文(2)在不规则的数据网格上离散化偏微分方程我们这个算法是在规则的数据网格上离散偏微分方程的，为更进一步地改进模型，我们希望能找到一种不规则的新型网格来代替现在的规则型的网格，使得在这种不规则的数据网格上离散化偏微分方程时算法变得更稳定：(3)更有效的求解和离散化偏微分方程的方法我们用到的偏微分方程是比较简单的，在求解和离散化方程时我们用到了信息传播方向的模长与信息的梯度模长相等这个重要性质，并且在离散信息的梯度范数时用到了迎风格式，我们希望可以找到一种更好的离散偏微分方程的办法，以使得算法更简洁有效总之，偏微分方程现已在图像处理中广被应用，取得了很多的结果，但仍有许多的问题需要人们去研究参考文献【1】D K i n g T h eC o m m i s s a rV a n i s h e s H e n r yH o l ta n dC o m p a n y,1 9 9 7f 2】G E m i l e-M a l e T