失业理论：搜寻匹配模型(重庆大学,吴永球).doc

《宏观经济学》
失业理论——搜寻匹配模型
重庆大学贸易与行政学院 吴永球

一．McCall模型
1．假设：
(ⅰ)劳务市场上，存在工人与厂商两个主体；双方都依利益最大化作出决策：工人追求一生期望总收入最大化，厂商追求利润最大化。
(ⅱ)动态均衡假定：在均衡状态下，就业工人总数、失业工人总数、工资等均为常数（不考虑经济增长、劳动供给增加等因素），工人在不同状态之间的流动达到动态平衡，即单位时间内新增就业人数=新增失业人数。
2．模型
代表性工人最优决策的目标是：
(1.1)
其中，是折现因子，是工人的动态收入。
现对作如下说明：
(ⅰ)依赖于工人的工作状态：
(1.2)
其中，是就业时的工资，为失业保险金，厂商为求职者提供的工资为连续随机变量，分布函数为；为最高工资，、。另假定工人一旦就业保持工资水平不变，直到被解雇或自己离职。为工人的工作状态，表示就业状态，表示失业状态。
(ⅱ)状态：在职工人在任何一期内失业概率为，假定劳动力市场上有充分多空岗，失业者无需等待就能遇到一位雇主，但仅当雇主提供工资时，才接受该职位；被定义为失业者接受工作的保留工资。
3．求解
有关（1.1）中的值函数：若，工人就业且工资为时，记为 ；若时工人失业，面临厂商提供的工资，记为。
在保留工资处，失业者对于接受与拒绝工作无差别，所以：。
因此有：
(1.3)
令：
(1.4)
表示工人在失业状态下跨期收入的期望。
由Bellman方程，有：
(1.5)
其中：；
式（1.5）的第2个方程表示，当工人处于失业状态时，他将在接受工资为的工作（上文已假定劳务市场存在足够空岗，因而只要工资合理工人就可随时就业）与拒绝工作继续失业之间做出选择。
由式（1.5）第一个方程得到：
(1.6)
根据保留工资定义可知：
(1.7)
将式（1.7）与式（1.6）联立起来，得到：
(1.8)
其中；
存在：
由式（1.4）
分部积分
由式（1.6）
(1.9)
将式（1.9）代入式（1.8），得到的方程：
(1.10)
3．结论
(ⅰ)将式（1.10）对求导：
(1.11)
同理可证：、。
(ⅱ)均衡失业率
在均衡状态下，就业总数为常量，即在一定时期内新增就业与失业人数相等，于是有：
(1.12)
由式（1.12）可得均衡失业率：
(1.13)
4．缺陷
(ⅰ)厂商提供工资外生的，不符合厂商理性条件；
(ⅱ)工人不用等待可自由选择就业的假定。

二．内生工资分布搜寻模型
（Burdett-Mortensen,1998）
1．模型的设定
（ⅰ）厂商行为。厂商提出工资在竞争的劳务市场上招聘工人，是一个连续随机变量，其分布函数由模型内生的地决定。设和分别为最低与最高工资，即、。
设厂商以工资能雇到工人数为，则在单位时间内所获利润为：
(2.1)
其中，为每个职工的单位产出。
厂商以利润最大化为其决策目标。
（ⅱ）工人行为。工人有在职和失业两种状态，若，则工人收入；以表示在职工人工资概率分布，则与相关但未必一致且。
在职人员可能被解雇或自动跳槽，失业工人在寻找工作时可能要等待；被解雇工人数、跳槽工人数与遇到新职位的失业工人数都是Poisson过程，三个Poisson过程的强度分别为、和；依据Poisson过程的性质，从到这段时间内，在职人员被解雇的概率为、被留用的概率为；、和反映单位时间内被解雇工人数、跳槽工人数与遇到新职位的失业工人数。
2．厂商决策
厂商选择使对任何的都达到（2.1）中利润最大化，而完全竞争上，同质厂商都获最相同的平均利润，因而，于是由（2.1）可以得到：
(2.2)
在均衡状态下：
（ⅰ）劳务市场中就业总数，失业总数都是固定常数，而且，对于给定的，工资人在职人数亦保持不变。
（ⅱ）在单位时间内，
“新加入的工资的在职工人平均数”；
“工资的在职工人被解雇平均数”；
“工资的在职工人跳到工资职位的工人数”。（这里）
动态平衡要求：
(2.3)
以代入式（2.3），得到，可由此推出均衡的失业率：
(2.4)
另以代入式（2.3）得到：
(2.5)
式（2.5）表明与相互决定。
为了求出，令

则：
(2.6)
将（2.5）代入（2.6）得到：
(2.7)
以代入上式，得到：
(2.8)
于是：
(2.9)
将（2.9）代入（2.5），得：
(2.10)
由从（2.9）式可得到：
(2.11)
一旦确定了，和将随之确定；但保留工资则与工人的决策有关。
3．工人决策
工人跨期决策目标：
(2.12)
同样，若，工人就业且工资为时，记为 ；若时工人失业，面临厂商提供的工资，记为。
在保留工资处，失业者对于接受与拒绝工作无差别，所以：。
（ⅰ）若时，工人处于就业状态，由Poisson过程性质，工人在内保持原工作的概率为，因此在内收入的期望折现值为：。
在时间，工人有三种可能状态：被解雇、保持原职和跳槽，三者概率分别为、和，由Bellman方程，当时有：
(2.13)
式中，是工人从工资职位跳槽的最大期望折现收入：
(2.14)
在下从（2.13）中解出：
(2.15)
在（2.14）中令，得到：
(2.16)
将式（2.16）代入式（2.15）并利用得到：
(2.17)
假定可微，联立（2.14）和（2.15）得到：
(2.18)
（ⅱ）若工人处于失业状态，则由Bellman方程得：
(2.19)
其中：
(2.20)
上式中，。
将（2.20）代入（2.19），在在下有：
(2.21)
结合（2.17）、(2.18)和（2.21）和，得到的方程：
(2.22)
由（2.9）、（2.10）和（2.11）代入（2.22）便可解出、、和。
Burdett-Mortensen 与McCall模型区别：
（ⅰ）厂商提供工资分布由模型内生地决定；
（ⅱ）考虑到在职工人跳槽的可能性与失业工人在求职过程中的等待；
（ⅲ）工资的确定与厂商的利润最大化的决策有关。

三．匹配模型（Pissarides,1985）
1.模型
令、分别表示就业与失业总数；以记空缺的职位数，于是是职位总数。假定累计的就业人数、失业人数与补缺人数是强度为、与的Poisson过程。
在单位时间内，一个职位产生的利润为：
(3.1)
含义如上，表示单位时间内维持一个职位的成本，可以认为反映了闲置的资本。
定义如下的匹配函数：
(3.2)
式中，为单位时间内的匹配数。
2．工人行为
工人的目标函数：
(3.3)
如同前面一样，在时，就业状态值函数为，失业状态值函数为。
类似上面的分析，得到就业时的目标函数Bellman方程（本模型中是确定的）：
(3.4)
令，得到：
(3.5)
同样，失业时的值函数为：
(3.6)
令，得到：
(3.7)
联立（3.6）与（3.7）得到：
(3.8)
3．厂商决策
厂商目标：
(3.9)
为了更好分析，不妨设代表性厂商只提供一个职位，对应于时，将该职位被占据时厂商收益值函数记为，而职位空缺时的值函数记为。
均衡状态下，就业人数、空岗数、单位时间内匹配数皆为常数且相等：
(3.10)
同时，进一步假定工人与厂商具有相同谈判能力，于是一个职位给工人带来的净收入与带给厂商的净收入平衡，并假定职位可以无成本的增加，则有：
(3.11)
对问题（3.9）计算和。
岗位被占据时的Bellman方程为：
(3.12)
令，得到：
(3.13)
同样空岗时的Bellman方程为：
(3.14)
令，得到：
(3.15)
利用代入（3.13）和（3.15）得：
(3.16)
将（3.8）、(3.11)代入（3.16）得到：
(3.17)
联立（3.16）、（3.17）得到：
(3.18)
由（3.10）的
(3.19)
其次，由（3.2）式有：
(3.20)
联立（3.10）、（3.20）得：
(3.21)
将（3.19）、（3.21）代入（3.18）第2式得：
(3.22)
根据式（3.22）可解出均衡就业人数：
(3.23)
由进而可得到：
(3.24)
4．某些结论
由式（3.22）有：
(3.25)
由（3.19）知道
(3.26)
由（3.21）知道
(3.27)
将(3.28)、(3.29)代入（3.25）得：
(3.30)
同理可证：；。
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