力学第二版习题答案第九章.doc

第九章基本知识小结

⒈物体在线性回复力F = - kx，或线性回复力矩τ= - cφ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 （x表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m，单摆：ω02=g/l，扭摆：ω02=C/I.
⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv；振幅A和初相α由初始条件决定。
⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，。
⒋两个简谐振动的合成

分振动特点
合振动特点
方向相同，频率相同
与分振动频率相同的简谐振动
Δα=±2nπ 合振幅最大
Δα=±(2n+1)π 合振幅最小
方向相同，频率不同，频率成整数比
不是简谐振动，振动周期等于分振动周期的最小公倍数
方向相同，频率不同，频率较高，又非常接近
出现拍现象，拍频等于分振动频率之差
方向垂直，频率相同
运动轨迹一般为椭圆
Δα=±2nπ 简谐振动（ⅠⅢ象限）
Δα=±(2n+1)π简谐振动(ⅡⅣ象限)
方向垂直，频率不同，频率成整数比
利萨如图形，花样与振幅、频率、初相有关

⒌阻尼振动的动力学方程为 。
其运动学方程分三种情况：
⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，
，对数减缩 = βT’.
⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。
⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置
⒍受迫振动动力学方程 ；
其稳定解为 ，ω是驱动力的频率，A0和φ也不是由初始条件决定,

当时，发生位移共振。

9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。
解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽
略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsinφ O h
因为是微小摆动，sinφ≈φ,∴τ= - mghφ，
即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位 φ C
置附近运动，因而是简谐振动。
由转动定理： mg
即，

9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。
解：以平衡位置为原点建立 k1 k2
m
坐标o-x。设m向右偏离平衡位
置x，则弹簧1被拉长x，弹簧2 o x
被压缩x，m所受的合力（即回复力）.
由牛顿第二定律：

9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1.若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？
m
解：以两个弹簧串联后m的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m向下偏离平衡位置x，弹簧1伸长ΔL1，弹簧2 k1
伸长ΔL2，ΔL1+ΔL2 = x (1)；由于忽略弹簧质量， k2
两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即
k1ΔL1 = k2ΔL2 (2)；由⑴、⑵解得：， o
所以m所受的回复力 ， x
由牛顿二定律； ，即
，未串联前频率 ，令 ，即
，可求得：

9.2.4 单摆周期的研究：⑴单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内；⑵单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内；⑶单摆悬挂于以加速度a（a<g）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l.
f*=ma
T
mg
a
α
解：⑴以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直线成α角，由平衡条件：
设单摆偏离平衡位置角位移为θ(θ<5°)，单摆所受回复力矩：

由转动定理：，
以上求解较为麻烦，我们可以用另外一种简捷的思路和方法：
在重力场中单摆的周期为，g是重力场强度
现在单摆在力场中振动，力场强度：

⑵以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理：

同样可以认为单摆在力场 中振动，力场强度：
⑶与前面分析完全相同，

9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为1013/s，设想各原子间彼此以弹簧连接，1摩尔银的质量为108g，且包含6.02×1023个原子，现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。
k
k
解：利用9.2.2题的结果：

9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m,物体的质量为200g,现将弹簧自平衡位置拉长cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s,求该振子的运动学方程（SI）。
解：弹簧振子的圆频率.设振子的运动学方程为 .
据题意,t=0时，,代入⑴、⑵中，有
由⑴'、⑵'可解得：A=3×10-2m；,
α= - 19.47º= - 0.34rad. 代入（1）中，振子的运动学方程为：
x = 3×10-2 cos (7t - 0.34).

9.2.7质量为1.0×103g的物体悬挂在劲度系数为1.0×106dyn/cm的弹簧下面，⑴求其振动的周期；⑵在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s，求运动学方程。
O
x
解：以平衡位置为坐标原点，建立图示坐标o-x
⑴

⑵设运动学方称为
，将t=0时，x=0.5×10-2,v=15×10-2代入，有
①2+②2，可求得 A2=0.475×10-4，A=6.89×10-3m，将A值代入①、②中得：
所以，运动学方程为：

9.2.8 ⑴一简谐振动的规律为x=5cos(8t+π/4),若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？
⑵一简谐振动的运动学方程为x=8sin(3t-π),若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？
⑶画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。
解：⑴设计时起点提前t0秒，则t'=t+t0，将t=t'-t0代入原方程得 x=5cos(8t'-8t0+π/4).
当t0=0.5s时，x=5cos(8t'-4+π/4)=5cos(8t'-184º)=5cos(8t'+176º)
若使初相为零，令 -8t0+π/4=0，得 t0=π/32，即计时起点提前
π/32秒可使初相为零。
⑵原方程x=8sin(3t-π)=8cos(3t-3π/2). 设计时起点推迟t0秒，则t'=t-t0，将t=t'+t0代入原方程得 x=8cos(3t'+3t0-3π/2).
当t0=1s时，x=8cos(3t'+3-3π/2)=8cos(3t'-98º),∴t0=1s时，初相α=（3-3π/2）rad=-98º
若使初相为零，令 3t0-3π/2=0，得t0=π/2，即计时起点推迟
π/2秒可使初相为零。
⑶ t=0
t=0
t’=0 176º 45º
o x o -98º x

t’=0
9.2.9 画出某简谐振动的位移-时间曲线，其振动规律为
x=2cos2π(t+1/4) (SI制).
解：由运动学方程可知：A=2m,ω0=2π,T=2π/ω0=1s,α=π/2.
方法一：根据余弦函数图像规律：相位Φ=0,π/2,π,3π/2,2π时，其对应的位移为A,0,-A,0,A.因此只要求出对应的时间t即可画出x-t图像。令2π(t+1/4)=0,π/2,π,3π/2,2π;可求得对应的时间为-1/4,0,1/4,2/4,3/4.找出这些特殊点，即可画出x-t曲线。
方法二：令t'=t+1/4得x=2cos2πt',以1/4秒为t轴的时间单位，先画出它的x-t'图像。然后根据t=t'-1/4,将o-x轴右移1/4即得到x-t图像。
x (m)
2

-1 0 1 2 3 4 5 6 t (1/4 s )
-2

9.2.10 半径为R得薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小的摆动。⑴求其振动的周期。⑵求与其振动周期相等的单摆的长度。⑶将圆环去掉2/3而刀口支于剩余圆环的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。 O
解：⑴如图示,τo=-mgRsinφ≈-mgRφ R
由平行轴定理，Io=mR2+mR2=2mR2；据转动 φ C
mg
定理τo=Ioβ, ∴ ,即

⑵∵单摆的周期为 ∴与薄圆环振动周期相等的单摆的摆长L=2R. o
R
c
⑶设剩余圆环的质心在c处，质量为 r
m/3.据平行轴定理：Io=Ic+mr2/3;Io’ = mR2/3
o'
=Ic+m(R-r)2/3,∴Ic=mR2/3-m(R-r)2/3=2mRr/3-mr2/3
代入前式得 Io=2mRr/3. 设余环摆角为φ，则
τo= - mgrφ/3.由转动定理τo=Ioβo，有 –mgrφ/3=(2mRr/3)d2φ/dt2,
即 . 由于和剩余环的大小无关，可知，无论剩余环多大，只要刀口支于剩余环的中央，其振动周期就和整个圆环的振动周期相等。

9.2.11 1m长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等，固定于杆上离转轴为h的地方。用T0表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期。⑴求当h=50cm和h=100cm时的比值T//T0.⑵是否存在某一h值，可令T=T0,若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时周期不变。
解：为简便起见，借用9.2.1题中求得的结果，物理摆的周期，其中hc为摆质心到转轴的距离。
未加小物体时：
，代入（1）中 .
加小物体后：，
,代入（1）中
∴
⑴当l=1m,h=0.5m时，
当l=1m,h=l=1m时，
⑵令T=T0 ， 即，解得：
h=0, h=2l/3.
在h=0处加小物体，即把物体放在转轴处，对摆的摆动毫无影响，故周期不变。由可知，此物理摆的等效单摆长度为，因此，在处加小物体，相当于只增加单摆的质量，没有改变单摆的长度，故周期不变。

9.2.12 天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量为0.9kg的小球。最初小球静止，后另一质量为0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。
解：设m1=0.9kg,m2=0.1kg,碰前m2的速度
为v20=1.0m/s,碰后两球的共同速度为v0.由动量 l
o x
守恒，有
v0
m2 v20 m1
碰后两球构成一个单摆,圆频率.设运动学方程
将t=0时,x=0,v=0.1代入,得：0=Acosα ⑴’, 0.1= - 3.3Asinα ⑵’
α要同时满足⑴’ ⑵’，只有取α=-π/2；代入⑵’得A≈0.03.
所以运动学方程为：

a
m
m
b
o
x
9.2.13 质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架，求铅快落进框架后的运动学方程。
解：设a为弹簧自由伸长时框架的位置，b为碰前框架的平衡位置，o为碰后平衡位置并取作坐标原点。据题意：
ab=0.1m, k=mg/ab=0.2×9.8/0.1=19.6N/m,
在o点，2mg=k(ab+bo), bo=2mg/k-ab=0.1m
设碰后铅块与框架获得的共同速度为v'，由动量守恒:
碰后框架与铅块振动的圆频率，设振动的运动学方程为 ，将振动的初始条件：t=0时, x = -0.1, v = v'=1.21代入，有：
①2+②2，得：，将A值代入①、②中得：cosα= -0.5, sinα= -0.865, α= -120°= -2π/3
所以，运动学方程为：

9.2.14 质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，框架下方有一质量为20g的小球竖直向上飞来，与框架发生完全弹性碰撞，已知小球碰前速度为10m/s，求碰后框架的运动学方程。
m'
m
v0'
o
x
解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意：
设小球质量为m'，小球碰前速度为v0'，小球碰后速度为v'，框架碰前静止，碰后速度为v0
由动量守恒：，由牛顿碰撞公式：
由此可求得：
设运动学方程
代入初始条件：
由①知α=±π/2，为满足②式，取α=π/2，代入②得：A=0.184
所以，运动学方程为：
9.2.15 质量为m的物体自倾角为θ的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了l远后与一质量为m’的物体发生完全非弹性碰撞。m’与劲度系数为k的轻弹簧相连。碰撞前m’静止于斜面上，如图所示。问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知m=m’=5kg,
k=490N/m,θ=30º,l=0.2m.
解：设a为弹簧自由 m
伸长处，b为只有m’时的 a m’
平衡位置, o为m与m’粘 b k
在一起时的平衡位置.以o O θ
为原点，建立图示o-x坐 x
标。由平衡条件有：.

设m与m’碰前速度为v1，由能量守恒，，
.设m与m’碰后共同速度为v0,由动量守恒
显然，碰撞后两小球在平衡位置o附近作简谐振动，其圆频率
. 设运动学方程为 （1），速度. 将初始条件，
代入得：.可解得：A=0.1118m,α= - 1.107rad..∴

9.3.1 1851年傅科作证明地球自转的实验，摆长69m,下悬重球28kg.设其振幅为5.0º，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零。
解：；根据能量守恒，振动的总能量等于摆在最高点时的势能

9.3.2 弹簧下面悬挂质量为50g的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为 x=2sin10t,平衡位置为势能零点（时间单位：s,长度单位；cm）.⑴求弹簧的劲度系数，⑵求最大动能，⑶求总能。
解：⑴∵
⑵∵

⑶根据能量守恒，总能量等于最大动能，为1.0×10-3j

9.3.3 若单摆的振幅为θ0，试证明悬线所受的最大拉力等于
mg(1+θ02)
mg
θ
T
n
τ
证明：单摆的运动学方程为：

角速度
在法向方向应用牛顿第二定律：

时，T最大
所以，
9.4.1 在电子示波器中，由于互相垂直的电场的作用，使电子在荧光屏上的位移为 x = Acosωt, y = Acos(ωt+α).求出α=0，π/3，π/2时的轨迹方程并画图表示。 y
解：⑴α=0时，轨迹方程y=x,如图a所示。
⑵α=π/3时， x = Acosωt, 0 x
y = Acos(ωt+π/3)= A(cosωt cosπ/3 – sinωt sinπ/3)
=. 由上式可得
，两边平方可得
y
y'
x'
x
令 .代入上式可得
其轨迹为如图所示的斜椭圆。

⑶α= π/2时， y
， x
则，其轨迹是半径为A的圆。

9.6.1 某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的1/3，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）
解：对于弱阻尼振动：
由题意 ，两边取对数得 .

9.6.2 阻尼振动起初振幅A0=3cm，经过t=10s后振幅变为A1=1cm，问经过多长时间，振幅将变为A2=0.3cm?（弱阻尼状态）
解：弱阻尼状态运动学方程为：
，
.
设t=t2时，振幅变为
∴

9.7.1 某受迫振动与驱动力同相位，求驱动力的频率。
解：∵，φ即为受迫振动与驱动力的相差，φ=0，
tgφ=0,而β为有限值，∴ω→0.