课时跟踪检测(三十八) 归纳推理与类比推理.doc

课时跟踪检测(三十八)　归纳推理与类比推理

第Ⅰ组：全员必做题
1．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为(　　)
A．3 125　　 B．5 625　　 C．0 625　　 D．8 125
2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)
A. B. C. D.
4．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)
A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N＋，(n＋1)2＞2n
5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为(　　)

A．809 B．852 C．786 D．893
6．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．

7．若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，有__________________．
8.(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.
(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；……
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．

10．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

第Ⅱ组：重点选做题
1．观察下列算式：
13＝1，
23＝3＋5，
33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
……
若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m＝________.
2．(2014·东北三校联考)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝(－1)n·2an－2(n≥3，n∈N＋)，其前n项和为Sn.
(1)a2n＋1关于n的表达式为________；
(2)观察S1，S2，S3，S4，…Sn，在数列{Sn}的前100项中相等的项有________对．

答 案

第Ⅰ组：全员必做题
1．选D　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则
f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)．
∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.
2．选B　①②正确，③④⑤⑥错误．
3．选D　正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
4．选A　选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
5．选A　前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
6．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S
7．解析：设{bn}的首项为b1，公比为q，则b·b·b＝(b1qp－1)m－n·(b1qm－1)n－p·(b1qn－1)p－m＝b·q0＝1.
答案：b·b·b＝1
8．解析：(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，
S四边形DEFG＝3.
(2)由待定系数法可得，
⇒
当N＝71，L＝18时，
S＝1×71＋×18－1＝79.
答案：(1)3,1,6　(2)79
9．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积V＝×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋
sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：某数m3按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2，19＝42＋3，…，所以第m行的最后一个数为m2＋(m－1)．因为当m＝44时，m2＋(m－1)＝1 979，当m＝45时，m2＋(m－1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m＝45.
答案：45
2．解析：(1)＝＝…＝＝－2，
又a1＝1，从而a2n＋1＝(－2)n.
(2)由(1)及条件知，数列{an}为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S1＝S3，S5＝S7，S9＝S11，…，故在{Sn}的前100项中相等的项有25对．
答案：(1)a2n＋1＝(－2)n　(2)25