椭圆课上练习.doc

1．直线与椭圆的位置关系为___________
2．已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是___________

3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为
__________．
4． 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_______

5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
6．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

7.　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.
(1)求a、b的值；
(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

解　(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为＝，故＝，c＝1.
由e＝＝，得a＝，b＝＝.
(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立．
由(1)知C的方程为2x2＋3y2＝6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k(x－1)．
C上的点P使＝＋成立的充要条件是P点坐标为(x1＋x2，y1＋y2)，且2(x1＋x2)2＋3(y1＋y2)2＝6，整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4x1x2＋6y1y2＝6，
又A、B在椭圆C上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6，
故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.①
将y＝k(x－1)代入2x2＋3y2＝6，并化简得
(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
于是x1＋x2＝，x1·x2＝，
y1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝.
代入①解得k2＝2，此时x1＋x2＝.
于是y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－，即P.
因此，当k＝－时，P，l的方程为x＋y－＝0；
当k＝时，P，l的方程为x－y－＝0.
(ⅱ)当l垂直于x轴时，由＋＝(2,0)知，C上不存在点P使＝＋成立．
综上，C上存在点P使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0.
6.如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

解　(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离
d＝，
所以|AB|＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，
故x0＝－.所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝·|AB|·|PD|
＝，
所以S＝≤
＝，
当且仅当k＝±时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.