课题：求曲线的方程（第一课时）.doc

课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线（3）初步掌握求曲线方程的方法（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力教学重点、难点：求曲线的方程教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：【引入】1提问：什么是曲线的方程和方程的曲线学生思考并回答教师强调2坐标法和解析几何的意义、基本问题对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程（2）通过方程，研究平面曲线的性质事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线本节课就初步研究曲线方程的求法【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决可是，你们是否想过恰好就是所求的吗？或者说就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解设是线段的垂直平分线上任意一点，则 即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点设点的坐标是方程的任意一解，则到、的距离分别为 所以，即点在直线上 综合（1）、（2），是所求直线的方程 至此，证明完毕回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想因此是个好方法让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系然后仿照例1中的解法进行求解求解过程略【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为 将式 移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、，且有，求点轨迹方程分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为根据条件，代入坐标可得化简得 由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；【板书设计】76 求曲线的方程坐标法：解析几何：基本问题：（1）（2）例1：例2：求曲线方程的步骤：例3练习：小结：作业：