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课题：求曲线的方程（第一课时）
教学目标：
　　（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．
　　（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．
　　（3）初步掌握求曲线方程的方法．
　　（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．
教学重点、难点：求曲线的方程．
教学用具：计算机．
教学方法：启发引导法，讨论法．
教学过程：
【引入】
1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．
　　学生思考并回答．教师强调．
2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．
　　对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：
　　（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．
　　（2）通过方程，研究平面曲线的性质．
　　事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．
【问题】
　　如何根据已知条件，求出曲线的方程．
【实例分析】
　　例1：设  、  两点的坐标是  、（3，7），求线段  的垂直平分线  的方程．
　　首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．
　　解法一：易求线段  的中点坐标为（1，3），
　　由斜率关系可求得l的斜率为

　　于是有

　　即l的方程为
        ①
　　分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线  的方程？根据是什么，有证明吗？
　　（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．
　　证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．
　　设  是线段  的垂直平分线上任意一点，则

          即

　　将上式两边平方，整理得

　　这说明点  的坐标  是方程  的解．
　　（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
　　设点  的坐标  是方程①的任意一解，则

         到  、  的距离分别为

     所以  ，即点  在直线  上．
     综合（1）、（2），①是所求直线的方程．
    至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设  是线段  的垂直平分线上任意一点，最后得到式子  ，如果去掉脚标，这不就是所求方程  吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：
　　解法二：设  是线段  的垂直平分线上任意一点，也就是点  属于集合

　　由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

　　将上式两边平方，整理得

　　果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．
　　这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．
　　让我们用这个方法试解如下问题：
　　例2：点  与两条互相垂直的直线的距离的积是常数  求点  的轨迹方程．

分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．
　　求解过程略．
【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：
　　分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：
首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如  表示曲线上任意一点  的坐标；
　　（2）写出适合条件  的点  的集合
 ；
　　（3）用坐标表示条件  ，列出方程  ；
　　（4）化方程  为最简形式；
　　（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
　　一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．
　　上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．
　　下面再看一个问题：
　　例3：已知一条曲线在  轴的上方，它上面的每一点到  点的距离减去它到  轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
　　【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．
　　解：设点  是曲线上任意一点，  轴，垂足是  （如图2），那么点 属于集合

　　由距离公式，点  适合的条件可表示为
           ①
　　将①式 移项后再两边平方，得

　　化简得

　　由题意，曲线在  轴的上方，所以  ，虽然原点  的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为   ，它是关于  轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．
【练习巩固】
　　题目：在正三角形  内有一动点  ，已知  到三个顶点的距离分别为  、  、  ，且有  ，求点  轨迹方程．

分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设  、  的坐标为  、  ，则  的坐标为  ，  的坐标为  ．
　　根据条件  ，代入坐标可得

　　化简得
              ①
　　由于题目中要求点  在三角形内，所以  ，在结合①式可进一步求出  、  的范围，最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：
　　（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？
　　（2）如何求曲线的方程？
　　（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？
【作业】课本第72页练习1，2，3；

【板书设计】
§7．6 求曲线的方程
坐标法：
解析几何：
基本问题：
（1）
（2）
例1：
例2：
求曲线方程的步骤：
例3
练习：
小结：
作业：