31.2.1-任意角的三角函数(优秀)(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,任意角的三角函数,1.2.1,任意角的三角函数,1,学习目标,1、知识与技能,借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意角三角函数的定义认识其定义域，函数值的符号;已知角终边上一点,会求角的各三角函数值;记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）.,2、过程与方法,利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值 ;各个三角函数值的象限符号；诱导公式一的熟练应用。,3、情感、态度与价值观,学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神.,2,教学的重点和难点,重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值.,难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定.,3,1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？,复习回顾,O,a,b,M,P,c,4,O,a,b,M,P,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,新课 导入,5,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,6,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,诱思 探究,M,O,y,x,P(a,b),7,1.锐角三角函数（在单位圆中）,以原点,O,为,圆心，以单位,长度为半径的圆，称为,单位圆,.,y,O,x,1,M,8,2.任意角的三角函数定义,设,是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么:（1）叫做 的正弦，记作 ，即 ；,（2）叫做 的余弦，记作 ，即 ；,（3）叫做 的,正切,，记作 ，即 。,所以，正弦，余弦，正切都是以,角为自变量,，以,单位圆,上点的,坐标或坐标的比值,为函数值的函数，我们将他们称为,三角函数.,使比值有意义的角的集合,即为三角函数的定义域.,9,x,y,o,的终边,说 明,（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点,横坐标的比值,.,的横坐标，,正切就是,交点的纵坐标与,.,（2）正弦、余弦总有意义.当,的终边在,横坐标等于0，,无意义，此时,轴上时，点P 的,（3）由于角的集合与实数集之间可以建立,一一对应关系,，,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.,10,任意角的三角函数的定义过程：,直角三角形中定义锐角三角函数,直角坐标系中定义锐角三角函数,单位圆中定义锐角三角函数,单位圆中定义任意角的三角函数,11,例1.求 的正弦、余弦和正切值.,解：,在直角坐标系中，作,，易知,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,思考：,若把角 改为 呢?,实例 剖析,P,15,.1,P,15,.3,12,设角 是一个任意角，是终边上的任意一点，,点 与原点的距离 .,那么 叫做 的正弦，即,叫做 的余弦，即,叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广：,13,例2.已知角 的终边经过点 ，求角,的正弦、余弦和正切值.,解:,由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、作 轴的垂线 、,于是，,14,于是,，,巩固 提高,练习:,1.已知角 的终边过点 ，,求 的三个三角函数值.,解：,由已知可得：,P,15,.2,15,16,17,1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域,（弧度制）,探,究,三角函数,定义域,R,2.确定三角函数值在各象限的符号,y,x,o,y,x,o,y,x,o,+,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,R,口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦,.”,+,-,-,+,-,-,+,+,-,+,-,18,y,x,o,+,-,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,y,x,o,y,x,o,全为+,y,x,o,记法：,一全正,二正弦,三正切,四余弦,三个三角函数在各象限的符号,心得:,角定象限,象限定符号.,P,15,.3,19,例3.求证：当下列不等式组成立时，角,为第三象限角.反之也对,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于,y,轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.,于是角 为第三象限角.,反过来请同学们自己证明.,P,15,.6,20,思考：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,终边相同的角的同一三角函数值相等（,公式一,）,其中,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为,求 角的三角函数值.,？,21,例题,（1）因为 是第三象限角，所以 ；,（3）因为 =,而 是第一象限角，所以,解：,（2）因为 是第四象限角，所以,22,解：,23,6.已知,在第二象限,试确定,sin(cos,),cos(sin,),的符号.,解:,在第二象限,-,1cos,0,0sin,1.,-,-,1,1,2,2,-,cos,0,0sin,.,2,2,sin(cos,),0.,sin(cos,),cos(sin,),0.,故,sin(cos,),cos(sin,),的符号为“,-,”号.,24,25,1.内容总结：,三角函数的概念.,三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.,诱导公式一.,运用了定义法、公式法、数形结合法解题.,划归的思想，数形结合的思想.,归纳 总结,2.方法总结：,3.体现的数学思想：,26,M,A,P,下面我们再从图形角度认识一下三角函数,思考:,为了去掉等式中得绝对值符号，能否,给线段OM、MP规定,一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？,27,我们把带有方向的线段叫,有向线段.,(,规定:与坐标轴相同的方向为正方向,).,y,x,o,的终边,M,P,的终边,28,T,M,A,P,T,M,A,P,T,M,A,P,=,MP,T,M,A,（1,0）,P,29,这几条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的,正弦线,、,余弦线,、,正切线,统称为,三角函数线,.,当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别,变成一个点；此时角 的正弦值和正切值都为0,当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在此时角 的正切值不存在。,T,M,A,P,T,M,A,P,T,M,A,P,T,M,A,P,30,MP是正弦线,OM是余弦线,AT是正切线,y,x,o,M,P,A,T,例 题 示 范,31,例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线,（1）；（2）,32,例1.在0 内，求使,成立的,的取值范围.,O,x,y,P,M,P,1,P,2,33,x,y,o,P,1,P,2,x,y,o,T,A,210,30,例利用单位圆寻找适合下列条件的0,到,360,的角.,30,150,解:,30,90或210,270,34,P,O,x,y,M,A,T,35,A,B,o,S,2,S,1,P,2,P,1,M,1,例.,利用三角函数线比较下列各组数的大小：,解：,如图可知：,M,2,36,A,B,o,T,2,T,1,S,2,S,1,例.,利用三角函数线比较下列各组数的大小：,解：,如图可知：,37,例5.求函数 的定义域.,O,x,y,P,2,M,P,1,P,38,x,y,o,M,P,A,T,x,y,o,y=-x,P,M,练习,39,x,y,o,y=-x,x,y,o,y=-x,x,y,o,M,P,M,P,P,M,x,y,o,P,M,M,P,P,M,40,小 结,1.,2三角函数线的定义，会画,任意角的三角函数线；,3.利用单位圆比较三角函数值,的大小，求角的范围.,41,