利用直线的斜率解题.doc

利 用 直 线 的 斜 率 解 题

江苏省镇江市丹徒高级中学 蔡鹏

本文试通过相似联想，利用斜率的几何意义，把数学表达式化归为直线斜率相关的结构形式，它的解题优点是：构思灵巧，直观性强，易于打开解题思路。现举例如下：
y
x
o
A
B
C

图1
1． 比较大小，证明不等式
例1 比较与的大小
解：设A（－1，—1），B（101999，101998），
C（102000，101999），
则，
因为B，C都在直线上，点B位于点C的左侧，
点A位于下方，如图1所示即＞。
例2．设a1，a2，b1，b2都是正数，并且，证明：。
证明：在坐标平面上作点A（b1，a1）和B（b2，a2），
则线段AB的中点为Q（，）
A（b1，a1）
Q（，）
B（b2，a2）
y
o
x
图2
如图2，，分别为直线OA，OB的斜率，
因为它是OQ的斜率，
而OQ夹在OA，OB两线之间，
（4，3）
y
x
o
4
图3
则，即。
2． 求值域、最值及确定参数范围
例3．求的值域。
解：令，，
则。
表示圆上的点与原点连线的斜率，
，，故所求函数值域为。
O
x
C（2，—1）
B
y
A（0,）
图4
例4．当m为何值时，与的交点位于第二象限？
解：直线方程变形为：，
它表示过定点C（2，—1）斜率为m的直线系方程。
又圆与y轴正半轴交于
点A（0,）, 与x轴负半轴交于点B（—2，0），
要求m的范围，只要求过点（2，—1）及
（ （不含A、B）上任一点的直线的斜率的范围，
即，∴。
3． 求等差、等比数列的有关问题
（1） 等差数列通项公式变形为，则点（n，）都在斜率为d的直线上
（2） 等差数列前项和公式：变形为：，则点（）都在斜率为的直线上。
（3） 等比数列的通项公式，两边取对数得，即则点（n，）在斜率为lgq的直线上。
例5 在等差数列中{}中，，，则 。
解：由（1）可知，∴45。
例6等差数列{}前m项和为30，前2m项和为100，求前4m项和.
解：由（2）可知得，故=360。
例7 若一正项等比数列的第p，q，r项分别为x，y，z。
求证：（a>0，且a≠1）
证明：点A（p，）（q，）（r，）共线，∴，
即，
经整理变形可得：。
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