第八章第七节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　B．－2
C．4或－4 D．12或－2
解析：设标准方程为x2＝－2py(p>0)，
由定义知P到准线距离为4，
故＋2＝4，∴p＝4，
∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.
答案：C
2．(2011·东北三校)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：由题意可知，抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为＝1.
答案：A
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
答案：C
4．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　)
A.或 B.或
C.或   D.
解析：由焦点弦长公式|AB|＝得＝12，∴sinθ＝，∴θ＝或.
答案：B
5．(2011·济南第二次诊断)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：由题可知抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，∴a＝±8.
答案：B
6．已知抛物线y2＝4x上两个动点B、C和点A(1,2)，且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点(　　)
A．(2,5) B．(－2,5)
C．(5，－2) D．(5,2)
解析：设B(，y1)，C(，y2)，BC的中点为D(x0，y0)，则y1＋y2＝2y0，直线BC：＝，即：4x－2y0y＋y1y2＝0　①；又·＝0，∴y1y2＝－4y0－20，代入①式得：2(x－5)－y0(y＋2)＝0，则动直线BC恒过x－5＝0与y＋2＝0的交点(5，－2)．
答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是______________．
解析：由题意设抛物线的方程为y2＝2ax(a>0)，由于其过点P(2,4)，所以42＝2a×2⇒a＝4，故该抛物线的方程是y2＝8x.
答案：y2＝8x
8．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析：双曲线－＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以＝3，p＝6.
答案：6
9．(2011·南京调研)已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．
解析：依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.
答案：4
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l：x＝－1相切，点C在l上．
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；
(2)设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点．
问△ABC能否为正三角形？若能，求出C点的坐标；若不能，说明理由．
解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物
线，所以曲线M的方程为y2＝4x.如图所示．
(2)由题意得，直线AB的方程为
y＝－(x－1)，
由
消y得
3x2－10x＋3＝0.
解得A(，)，B(3，－2)．
若△ABC能为正三角形，
设C(－1，y)，则|AC|＝|AB|＝|BC|，即

①②组成的方程组无解，因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形．
11．(2010·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．
∴若·＝－4，则直线l必过一定点．
12.如图：直线y＝x与抛物线y＝x2－4交于A、B两点，直线l与直线y＝x和y＝－5分别交于M、Q，且·＝0，＝(＋)．
(1)求点Q的坐标；
(2)当点P为抛物线上且位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．
解：(1)联立，解得或，
即A(－4，－2)，B(8,4)．
∵·＝0，∴QM⊥AB，
又＝(＋)，∴M是AB的中点，即M(2,1)．
∴l是线段AB的垂直平分线，
又kAB＝，∴l的方程为y－1＝－2(x－2)，
即2x＋y－5＝0，令y＝－5，得x＝5，
∴Q＝(5，－5)．
(2)直线OQ的方程为：x＋y＝0.
由题意可设P(x，x2－4)，－4≤x≤8，且O、P、Q不共线，
则点P到直线OQ的距离为：
d＝＝|x2＋8x－32|.
又|OQ|＝5，
∴S△OPQ＝·|OQ|·d＝|x2＋8x－32|＝|(x＋4)2－48|，
其中x∈[－4,8]，且O、P、Q不共线，
令f(x)＝(x＋4)2－48，
则当x∈[－4,8]时，函数f(x)单调递增．
又当x＝－4时，|x2＋8x－32|＝48，
当x＝8时，|x2＋8x－32|＝96.
∴当x＝8时，(S△QPO)max＝×96＝30.