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例说机械能守恒定律的五类应用
A
h
图1
一、连续媒质的流动问题
例1 如图1所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？
解析：将盖板A拿去后，右管液面下降，左管液面上升。系统的重力势能减少动能增加，当左右两管液面相平时势能最小，动能最大。设液体密度为ρ，液柱的截面积为S，液柱流动的最大速度为V，由机械能守恒定律得：，将，代入上式解得：
图2
V0
O
R
例2 如图2所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L（L＞2πR），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为V，列车质量为M则轨道上的那部分车的质量为。
由机械能守恒定律得：…………①
由圆周运动规律可知，列车的最小速率为：…………②
A
O
B
图3
解①②得：
二、轻杆连接体问题
例3 如图3所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两只质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知AO=L，BO=2L，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多大？
解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得：
………………①
因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即：…………②
设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为T，由牛顿第二定律得：
……………………③
M
m
图4
R
O
解①②③得：，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于，方向竖直向下。
三、轻绳连接体问题
例4 质量为M和m的两个小球由一细线连接（M＞m），将M置于半径为R的光滑球形容器上口边缘，从静止释放（如图4所示），求当M滑至容器底部时两球的速度（两球在运动过程中细线始终处于绷紧状态）。
解析：设M滑至容器底部时速度为VM，此时m的速度为Vm，根据运动效果，将VM沿绳方向和垂直于绳的方向分解，则有：
………………①
由机械能守恒定律得：………………②
解①②两式得：，方向水平向左；，方向竖直向上。
R
600
图5
C
O
A
B
四、弹簧连接体问题
例5 如图5所示，半径的光滑圆环固定在竖直平面内。轻持弹簧一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量的小球，小球套在圆环上。已知弹簧的原长为劲度系数。将小球从图示位置，由静止开始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C。已知弹簧的弹性势能，重力加速度，求小球经过C点的速度的大小。
解析：设C处为重力势能的零势面，由机械能守恒定律得：

将已知量代入上式解得：
五、卫星的变轨道问题
例6利用以下信息：地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，以无穷远处为零势能面，距离地心为r，质量为m的物体势能为（其中M为地球质量，G为万有引力恒量），求解下列问题：某卫星质量为m，在距地心为2R的轨道上做圆周运动。在飞行的某时刻，卫星向飞行的相反方向弹射出质量为的物体后，卫星做离心运动。若被弹射出的物体恰能在原来轨道上做相反方向的匀速圆周运动，则卫星的飞行高度变化多少？
解析：设卫星在距地心为2R的轨道上运行时速率为V0，则有
………………①
若设卫星将小物体反向弹出后的瞬时速率为V1，由动量守恒定律得：
………………②
如果卫星在离地心较远轨道r上，运行的速率用V2表示，则有
………………③
由于卫星做离心运动后遵守系统机械能守恒定律，故有
………………④
解①②③④得：，显然卫星飞行高度的变化量