第五次周考.docx

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2016学年柯桥中学高三第5次周考试卷
考试时间：120分钟；命题人：徐雅平；核对人：陈海峰

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知集合，集合，则为（ ）
A． B． C． D．
2．设表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若∥，，则∥； B．若，则；
C．若，则；  D．若∥，∥，，则∥．
3．已知向量，若与非零向量共线，则
等于 （ ）
A． B. C. D.

4.已知直线，若，则实数的值是（ ）

5.已知,则“”是“函数 在上为减函数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知实数列是等比数列，若，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
7．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2

8.已知函数，其中为实数，若对任意恒成立，且，则的单调递增区间是 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为l，过焦点F且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若=2，则|k|=（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知棱长为的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足,则点的轨迹长度是（ ）
A． B．
C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（共7小题，11-14每小题6分，15-18每小题4分,共36分）
11.若，则 ▲ ；
▲ .
12.已知某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是
▲ ； 表面积是 ▲ ．
13.若函数为奇函数，则__▲__，
__▲__.

14.已知，则__▲__，用表示为
__▲__.
15.若外接圆的半径为，圆心为,且,
则= ▲ .
16.一个袋中放了相同的标号为1、2、3的三个小球．每次从袋中摸一个小球，记下标号然后放回，共摸球3次．若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分，则3次所得分数之和的方差是　▲　．
17. 定义R)已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为 ▲ ．

三、解答题（共5小题，共74分）．

18.（本小题满分14分）
已知中角对边分别为,且满足.
（Ⅰ）求的值 （Ⅱ）若,求的面积。

19. (本题满分15分) 在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，侧面，，,
（I）若中点为，求证：；
（II）若，求直线与平面 成角的余弦值．

20(本题满分15分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围

21(本题满分15分)．如图，已知点F1，F2是椭圆C1：+y2=1的两个焦点椭
圆C2：+y2=λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D，设AB、CD的斜率为k，k′．
（Ⅰ）求证kk′为定值；
（Ⅱ）求|AB|•|CD|的最大值．

22（本题满分15分） 对任意正整数，设是方程的正根.
求证：（Ⅰ）；
（Ⅱ）.

第5次周考答案
1．C 2. D 3．C 4. A 5．B 6. D 7．A 8．C 9. B 10. D

11. ; 12.; 13. 0，-25 14. 12，
15. 3 16. 17.

18解：（Ⅰ），------------------------------- 2分
即，
所以， ------ 4分
所以， 所以，
所以， ------------------------------------------------------ 6分
得． ---------------------------------------------------7分
（Ⅱ）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：
----------- 9分
，

------------------------------------- 12分
. ------------------------ 14分

19.证明（I）取的中点，连结，
且，为平行四边形。
，且不在平面内 在平面内，
所以………………………..7分
（II）

20.【解答】解：（I）因为，（2分）
当a=1，，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）
（II）因为，且a≠0，
令f'（x）=0，得到，
若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）
（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，得，即（9分）
（2）当a＞0时，
①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若，即1＞时，则有
x

f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，
得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；
当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，
可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．
综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）

21.【解答】解：（1）证明：椭圆C1：+y2=1的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），
由题意可得λ=，即有椭圆C2：+y2=，
设P（m，n），即有m2+2n2=1，
AB、CD的斜率为k，k′．
即有kk'=•===﹣；
（2）设PF1：y=k（x+1），代入椭圆方程x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=﹣，x1x2=，
即为|AB|=•=；
设PF2：y=k'（x﹣1），代入椭圆方程x2+2y2=2，
可得（1+2k'2）x2﹣4k'2x+2k'2﹣2=0，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
即有x3+x4=，x3x4=，
即为|CD|=•=．
则|AB|•|CD|=8•=8•
=4[1+]，
由kk'=﹣，可得k2+k'2≥2|kk'|=1，当且仅当|k|=|k'|=时，取得等号．
则|AB|•|CD|≤4（1+）=，
即有|AB|•|CD|的最大值为．

22．（本题满分15分）
证：由 ，且 得 .……………………3分
（Ⅰ）
两式相减得

．
因为，故，即 ……………………7分
法二： ……………………3分
为单调 ……………………7分
（Ⅱ）因为 ，
所以，
由 得 . ……………………10分
从而当时， ，

所以 . ……………………15分