矢量分析.doc

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矢量分析 > 标量场和矢量场

标量场和矢量场
概念
标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。
矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。
矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

标量场
矢量场
矢量描述
矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。
场的"场图"表示
研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。
对标量场，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。显然，等值面的方程式为 ＝常数值
对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。
力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即, 称为力线的微分方程式。式中为力线切向的一段矢量。
在直角坐标内，力线的微分方程式可写成
按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。

P点处的矢量
力线图

矢量代数

平行四边形法则
求和差
作图法 遵循平行四边形法则
分量法.
求点积 （标量积、内积）
公式：
特点：
应用：电通量的计算
求矢积 （矢量积、外积）
公式：
特点：
应用：磁感应强度的计算

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矢量分析 > 矢量的环流、旋度

矢量的环流
定义：矢量 沿某一有向闭合曲线 的线积分为 沿 的环流，即 。
物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。
矢量的旋度
引出：研究闭合曲线内每一点处的环流。
定义：在矢量场中，围绕P点做一闭合回路，所围面积为， 的旋度是矢量，其大小为 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即
物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。

矢量的旋度在面元矢量上的投影
计算公式：

任一矢量的旋度的散度恒为零，即.....
斯托克斯定理
定理：  

4

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矢量分析 > 标量的梯度

引出：由求等值面的最大变化率引出标量的梯度概念。
定义：标量场 u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为 u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于 u 在该方向上的增加率，即最大增加率。
物理意义：标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值及方向。
计算公式：
梯度与方向导数的关系：
标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即
特点： 是矢量，与坐标系无关， 与 u 的等位面正交。
任一标量的梯度的旋度恒为零，即. .

标量场
标量场的等值面和梯度矢量
u沿不同方向的变化率

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矢量分析 > 矢量恒等式

.....任一标量的梯度的旋度恒为零。
......任一矢量的旋度的散度恒为零。

............(高斯定理或散度定理)
............(斯托克斯定理)

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矢量分析 > 亥姆霍兹定理

定理
位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
几个场的名称和性质
保守场
沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。
即 ，
则 称为保守场，u 称为保守位场。

标量场梯度的不同的积分路径
无旋场： 旋度为零的矢量场叫做无旋场。
标量函数的梯度是无旋场，如静电场。
无旋场的散度不能处处为零。
无散场： 散度为零的矢量场叫做无散场。
矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。
无散场的旋度不能处处为零。
一般场：既有旋度，又有散度。
这个矢量场可以表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和，即
其中为无旋度分量，其散度不为0，设为，为无散度分量，而它的旋度不为0，设为，因此有: 和 。
如上可见，的散度代表着形成矢量场的一种“源”，而的旋度则代表着形成的另一种“源”。一般当这两类源在空间的分布确定时，矢量场本身也就唯一的确定了。这一规律即亥姆霍兹定理。
意义
由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程。

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矢量分析 > 坐标系 > 概念

概念
空间中任一点与有序数 一一对应，则称 为空间点的曲线坐标。
特点
坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即
...
三种常用的坐标系
常用的正交坐标系有三种：直角坐标系()，圆柱坐标系()以及球坐标系()。 

圆柱坐标
球坐标

球坐标中的线元
圆柱坐标中的体积元

矢量和矢量场的不变性
描述物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的，其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标系的变换，和的大小和方向保持不变。 矢量函数在三种坐标系内应有的关系为

由矢量不变特性，可得下列恒等式

拉梅系数
1、 引入：给出三种坐标系中矢量散度、旋度和标量梯度的统一表达式。
2、 拉梅系数：
直角坐标中的拉梅系数值：1，1，1
圆柱坐标中的拉梅系数值：
球坐标中的拉梅系数值：
3、 计算公式

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矢量分析 > 坐标系 > 圆柱坐标系

坐标
，，
坐标变换式
，
单位矢量
，，
单位矢量
之间的关系

，，
与直角坐标中
单位矢量的关系
，
，

矢量表示式

是位置矢量 ......
微分长度元

式中，r、 和z增加方向上的微分元为dr、 和dz
体积元
面积元矢量

，，

算符 的表示式

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矢量分析 > 坐标系 > 球坐标系

坐标
，，
坐标变换式
，，
单位矢量
，，
单位矢量之间的关系

，，
与直角坐标中单位矢量的关系

，
，
，
矢量表示式
为位置矢量
微分长度元

球坐标沿三个坐标的微分线元为dr，和
体积元面积元矢量

，，

算符 的表示式

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矢量分析 > 小结

我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。
矢量场 在闭合面 的通量定义为 ，它是一个标量；矢量场的散度也是一个标量，定义为 。
矢量场 在闭合路径 的环流定义为 ，它是一个标量；矢量场的旋度是一个矢量，它定义为 。
标量场u（r）中，梯度的定义为 ，其中为 变化最快的方向上的单位矢量。
矢量分析中重要的恒等式有 任一标量的梯度的旋度恒为零。 任一矢量的旋度的散度恒为零。。
算符是一个矢量算符，在直角坐标内， ，所以 是个矢量，而 是个标量， 是个矢量。因而矢量算符▽符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。
亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。
直角坐标、圆柱坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标，其中圆柱坐标系的三个坐标分量为 ，单位矢量为 。球坐标系的三个坐标分量为 ，单位矢量为 。引入拉梅系数后，三种坐标的矢量运算公式可以统一起来。

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矢量分析 > 习题一

1．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。 (1) 判断是否为一直角三角形；(2) 求三角形的面积。
2．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。
3．给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。
4．定两矢量和，求在上的分量。
5．明：如果和，则。
6．果给定一未知矢量与已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量，，而，和已知，试求。
7．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。
8．球坐标表示的场， (1) 求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和； (2) 求与矢量构成的夹角。
9．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 提示：，在直角坐标中计算。
10．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。
11．由,和围成的圆柱形区域中，对矢量验证散度定理。
12．(1)矢量的散度；(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。
13．算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球体积的积分。
14．矢量沿XY平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与X轴和Y轴相重合。再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
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矢量分析 > 习题二

15.矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。
16.证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。
17．一径向矢量场用表示，如果，那么函数会有什么特点呢？
18．给定矢量函数，试分别沿一下路经计算：从点到的线积分的值，（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？
19.求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。
20．试采用与推导直角坐标内散度计算式相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。
21．方程给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。
22．现有三个矢量场

问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。
23．利用直角坐标，证明：
24．证明：
25．利用直角坐标，证明：
26．利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。
提示：利用证明对任意表面S，和证明对于任意闭合面包围体积。
习题答案
 1.24
1.25 (1) ；(2)
1.26
1.27
1.28
1.29 在(-5.83a，0，0)场是零
1.32 ，
1.34 (1) ，(2)
1.35

电场强度
定义： 单位静止点电荷所受到的电场力，称为电场强度。
数学表达式： .（单位：V/m）(1.1.1.1)
基本方程

由亥姆霍兹定理可知，无界空间中的静电场由静电场的散度和旋度方程共同决定。
微分形式： . (1.1.1.2) .......(1.1.1.3)
积分形式： (1.1.1.4) .... (1.1.1.5)
可以从中看出静电场在自由空间中是有散无旋场。

点电荷的电场强度的环路积分
方程的物理意义
微分形式
自由空间任一点处静电场的散度等于该点体电荷密度与自由空间介电常数的比值，自由空间中静电场的旋度处处为零，即静电场在自由空间中是有散、无旋场。
积分形式
自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比。在静电场中，电场强度沿任意闭合环路的积分恒为零。
静电场积分形式散度方程的证明
静电场积分形式旋度方程的证明