圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型.doc

2017届高三第一轮复习专题训练之
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：
模型一：“手电筒”模型
例题、（07山东）已知椭圆C：若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
解：设，由得，
，

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，
，，
，
整理得：，解得：，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）
此模型解题步骤：
Step1：设AB直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；
Step2：由AP与BP关系（如），得一次函数；
Step3：将代入，得。
◆迁移训练
练习1：过抛物线M:上一点P（1,2）作倾斜角互补的直线PA与PB，交M于A、B两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
练习2：过抛物线M:的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。（经典例题，多种解法）
练习3：过上的点作动弦AB、AC且，证明BC恒过定点。（本题参考答案：）
练习:4：设A、B是轨迹：上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案）
【答案】设，由题意得，又直线OA,OB的倾斜角满足，故，所以直线的斜率存在，否则，OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为，显然，
将与联立消去，得
由韦达定理知①
由，得1＝==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点.
练习5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C

(Ⅱ) 点B(-1,0),
.
直线PQ方程为:

所以,直线PQ过定点(1,0)
练习6：已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
【解】（1）设 （5分）

）
第22题
练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明: 为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
（Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定点.

解：（I）设点、M、A三点共线，

(II)设∠POM=α，则
由此可得tanα=1.
又
(Ⅲ)设点、B、Q三点共线，

即

即
由（*）式，代入上式，得
由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.
模型二：切点弦恒过定点
例题：有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积。
【解】（1）设M
∵点M在MA上∴ ① 同理可得②
由①②知AB的方程为
易知右焦点F（）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）
（2）把AB的方程
∴ 又M到AB的距离
∴△ABM的面积
◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。
◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库
参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频
拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料
练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.所以抛物线的方程为.
(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),
则切线的斜率分别为,,
所以切线：,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.

练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.
(I)求的值;(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方.

【答案】

模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。
例题：如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解： 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且。猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点
证明：设，当m变化时首先AE过定点N

∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点
法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。
◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。
例题、已知椭圆C：，若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

方法1：点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得
是方程的两个根，则，，
即点M的坐标为，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

，直线MN的方程为：，
令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：
又，椭圆的焦点为，即
故当时，MN过椭圆的焦点。
方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程的一个根，结合韦达定理，得到点M的横纵坐标：，；其实由消y整理得，得到，即，很快。不过如果看到：将中的换下来，前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线上也在直线A2N上，进而得到，由直线MN的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点M、N的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足。
◆方法2：先猜想过定点，设弦MN的方程，得出方程，进而得出与T交点Q、S，两坐标相减=0.如下：

◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。
练习1：（10江苏）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.
⑴设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹
⑵设x1=2,x2=，求点T的坐标
⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)

解析：问3与上题同。

练习2：已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.
（1）求椭圆的方程：
（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.

解析：（1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得. ∴椭圆的方程
（也可设标准方程，知类似计分）
（2）可知：将直线
代入椭圆的方程并整理．得
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得
直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得

∴直线与直线的交点在直线上． 故这样的直线存在
模型四：动圆过定点问题
动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例题1.已知椭圆 是抛物线的一条切线。（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（I）由
因直线相切
，故所求椭圆方程为（II）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：,由
即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点、

∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.
◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。
例题2：如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点，且满足。
（1）求椭圆的方程以及点的坐标；
（2）过点作轴的垂线，再作直线
与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点
。求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定
点的坐标。

解：（1），设，
由有，
又，，于是
，又，

，又，，椭圆，且。
（2）方法1：，设，由
，
由于（*），
而由韦达定理：，
，，
设以线段为直径的圆上任意一点，由有
由对称性知定点在轴上，令，取时满足上式，故过定点。

法2：本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F（1,0）。接下来用相似证明PF⊥FQ。

问题得证。
练习：（10广州二模文）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.圆的圆心是抛物线上的动点,圆与轴交于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明:无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点.
（1）解法1：∵抛物线的焦点坐标为，∴点的坐标为.
∴椭圆的左焦点的坐标为，抛物线的准线方程为.设点的坐标为，由抛物线的定义可知,∵,∴，解得.由，且,得.∴点的坐标为. 在椭圆:中，
.
∴.∴椭圆的方程为.
解法2：∵抛物线的焦点坐标为，∴点的坐标为.∴ 抛物线的准线方程为.设点的坐标为，由抛物线的定义可知,
∵,∴，解得.由，且得.
∴点的坐标为.在椭圆:中，.
由解得.∴椭圆的方程为.
（2）证法1: 设点的坐标为,圆的半径为，
∵ 圆与轴交于两点，且,∴ .∴.
∴圆的方程为.
∵ 点是抛物线上的动点,∴ ().∴.
把代入 消去整理得:.
方程对任意实数恒成立，∴ 解得
∵点在椭圆:上,∴无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点.
证法2: 设点的坐标为,圆的半径为，
∵ 点是抛物线上的动点,∴ ().
∵ 圆与轴交于两点，且,∴ .∴ .
∴ 圆的方程为.
令,则,得.此时圆的方程为.
由解得∴圆:与椭圆的两个交点为、.
分别把点、代入方程进行检验，可知点恒符合方程，点不恒符合方程.∴无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点.