数列复习之知识点疏理(学生版).doc

数列知识点疏理
一、 知识梳理
(一) 数列概念
1.数列的定义：按照 称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列的第项与 之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式.如数列中，，其中是数列的递推公式.
4.数列的前项和与通项的公式
① ；② .
5.数列的表示方法： 、 、 、递推法.
6.数列的分类：有穷数列，无穷数列； 、 ，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何,均有 .
②递减数列:对于任何,均有
③摆动数列:例如:
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数使
⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得
(二) 等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起， 等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的 .
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式 ，为首项，为公差.
⑵前项和公式 或 .
3.等差中项
如果 成等差数列，那么叫做与的等差中项.
即：是与的等差中项 ，，成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法： （，是常数）是等差数列；
⑵中项法： ()是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是 数列。
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为 数列，公差为 .
⑶；= (,是常数)；= (,是常数，)
⑷若，则 ；
⑸若等差数列的前项和，则是 数列；
⑹当项数为，则= ,=
当项数为，则= ,= .
(三) 等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起， 等于同一个常数，这个数列叫做 数列，常数称为等比数列的 .
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式： ，为首项，为公比.
⑵前项和公式：
①当时，
②当时， .
3.等比中项
如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等比中项，，成等比数列 .
4.等比数列的判定方法
⑴定义法： （，是常数）是等比数列；
⑵中项法： ()且 是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是 数列；
⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为 .
⑶
⑷若，则 ；
⑸若等比数列的前项和，则、、、是 数列.
二、 典型例题
(一) 求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知为等差数列的前项和，，求；

2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.

2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知为等差数列的前项和，，则
2、设、分别是等差数列、的前项和，，则
3、设是等差数列的前n项和，若
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=
5、已知为等差数列的前项和，，则 .
6、在正项等比数列中，，则_____。
7、已知数列是等差数列，若,且,则______。
8、已知为等比数列前项和，，，则 .
9、在等差数列中，若，则的值为
10、在等比数列中，已知，，则 .
11、已知为等差数列，，则
12、等差数列中，已知

B、求数列通项公式
1）给出前几项，求通项公式

3，-33,333，-3333,33333……
2）给出前n项和求通项公式
1、⑴；⑵.

2、设数列满足，求数列的通项公式

3）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
例：已知数列中，，求数列的通项公式；

b、已知关系式，可利用迭乘法.
例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；

c、构造新数列
1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，，求数列的通项公式.

2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解
例、，求数列的通项公式.

3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，，求数列的通项公式.

4°递推关系形如",两边同除以
例1、已知数列中，，求数列的通项公式.

例2、数列中，，求数列的通项公式.

d、给出关于和的关系
例1、设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式．

例2、设是数列的前项和，，.⑴求的通项；⑵设，求数列的前项和.

C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.

例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.求证：{}是等差数列；

2）证明数列等比
例1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；

例3、已知为数列的前项和，，.
⑴设数列中，，求证：是等比数列；
⑵设数列中，，求证：是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和.

例4、设为数列的前项和，已知
⑴证明：当时，是等比数列；
⑵求的通项公式

例5、已知数列满足
⑴证明：数列是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
⑶若数列满足证明是等差数列.

D、求数列的前n项和
基本方法：1）公式法，2）拆解求和法.
例1、求数列的前项和.

例2、求数列的前项和.

例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：；；
例1、求和：S=1+

例2、求和：.

3）倒序相加法，
例、设，求：
⑴；
⑵

4）错位相减法，
例、若数列的通项，求此数列的前项和.

5）对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.

E、数列单调性最值问题
例1、数列中，，当数列的前项和取得最小值时， .
例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；

例3、数列中，，求取最小值时的值.

例4、数列中，，求数列的最大项和最小项.

例5、设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．

例6、已知为数列的前项和，，.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

例7、非等比数列中，前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.
⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；
⑵求数列的第项；
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据：，)
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