椭圆中焦点三角形的性质.doc

鞍山三中高二文科数学
专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用
性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为
证明：

性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则.
证明：

性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则

例1. 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，
求△的面积.

例2.已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，
若，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.

例3.已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上.
若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）
A. B. C. D. 或

例4. 已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。

练习题：
1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ）
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 6
3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积
最大时，的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.
4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，
且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，
直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，
求椭圆的标准方程.

专题2：离心率求法：
1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个
正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.

2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距
成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.

3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．

4.已知A为椭圆＋＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、 F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1，
求该椭圆的离心率．

5．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．

椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）
y
F1 O F2 x

P
性质二
证明：记，
由椭圆的第一定义得
在△中，由余弦定理得：
配方得：
即

由任意三角形的面积公式得：
.

同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立.
性质三
证明：设则在中，由余弦定理得：

命题得证。
例1．解法一：在椭圆中，而
记
点P在椭圆上，
由椭圆的第一定义得：
在△中，由余弦定理得：
配方，得：
从而

解法二：在椭圆中，，而

例2.解：设，则，

故选答案A.
例3.解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又
，故答案选D.
思路一：由焦点三角形性质二，
　≤＜
思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑
不妨设短轴一端点为
则≤
≤ ≤ ≤≥，故　≤＜

练习题：
1. 解：，.
故答案选D.
2. 解：设，，
，.
故答案选A.
3. 解：，设， ，
当△的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，，
.
故答案选D.
4． 解：，，，
又，
，从而.
故答案选C.
5. 解：设，则. ，
又，
，即.
解得：.
所求椭圆的标准方程为或.

离心率求法：

1.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，
∴＝.
2.解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．
3.解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为e＝＝. 答案：
4.解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m.
又在Rt△AF1F2中，
|F1F2|＝＝2m.
∴e＝＝＝＝.
5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，
则△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，
所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝， ∴e＝.
法二：设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，
则M(c，b)．代入椭圆方程，得＋＝1，
所以＝，所以＝，即e＝.

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