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地球是个扁球体吗？
马蜀生（[e-mail]）
（安徽省淮南市第一中学，安徽 淮南 232001）

摘 要： 由于地球自转使地球成为扁球体，根据地球自转的角速度，结合万有引力定律和向心力知识，从理论上计算出地球作为一个扁球体的扁率，再根据实际测量的数据，说明地球只是一个略扁实际是个比常见球体还要标准的正球体。
关键词：扁球体 扁率 万有引力 向心力
1 引言
我们都知道地球并非正圆球，赤道半径比极半径略长，是一个两极稍扁，赤道略鼓的扁球体。
但地球的“扁”和“鼓”到什么程度？上世纪50年代后，随着科学技术的发展，为大地测量开辟了多种途径，高精度的微波测距，激光测距，特别是人造卫星上天，再加上电子计算机的运用和国际间的合作，使人们可以精确地测量地球的大小和形状了。通过实测和分析，得到确切的数据：地球的平均赤道半径为6738.140km，极半径为6356.755km，赤道周长和子午线方向的周长分别为40075km和39941km。测量还发现，北极地区约高出18.9m，南极地区则低下24～30m。
看起来，地球形状像一只梨子：它的赤道部分鼓起，是它的“梨身”；北极有点放尖，像个“梨蒂”；南极有点凹进去，像个“梨脐”，整个地球像个梨形的旋转体，因此人们称它为“梨形地球”。
2 “扁球体”说的理论表达式
地球自转是造成地球成为扁球体的主要原因。设想地球是一个理想流体构成的球体，由于内部的万有引力和自转的结果，使每条纬线构成的圆都是正圆，而每条经线构成的圆都是椭圆。对于已经自转了几十亿年的地球来说，这种设想是基本合理的。依据这种模型，我们先做理论上的计算。
取地球的一条经线，建立如图1所示的坐标系。

图1 球体的坐标系
这条经线在图示坐标系下的椭圆方程为：
（1）
其中a=OA，b=OB。设p（x，y）为椭圆上的一点，即地球表面上的某点。对方程（1）求导有：

y=－
这是椭圆上P点切线的斜率。由此可得P点法线即直线PD的斜率为：
tanPDA=－= （2）
设有一质量为m的物体，相对静止在地球表面P处，或者说这个物体随地球一起让地轴做匀速圆周运动，圆心在图1中的C点。该物体受到两个力的作用：地心的万有引力PF，指向地球中心，地面的支持力PH，沿椭圆在p点的法线方向向外。这两个力的合力PE指向该点纬线圆的圆心C，是提供物体绕地轴做圆周运动的向心力。
在力三角形PEF中，根据正弦定理可得：
= （3）
式中：ω—地球自转角速度；
G—万有引力恒量；
M—地球质量；
R—物体m与地心的距离，R=；
r—物体m的旋转半径，r=PC=x。
根据图1，式（3）可作如下整理：
=
=
=cosPOA－sinPOA (4)
式中，cosPOA== ，sinPOA=，R=，连同（2）代入(4)式得到：
a2－b2= （5）
这是赤道半径为a、极半径为b、质量为M的标准扁球体绕极半径以角速度ω自转时，表面某点P（x，y）应满足的方程。
3 地球体形状的分析
设P为赤道上的一点，P的坐标为（a，0），并将a的实际数据6378km、万有引力G=6.67×10-11Nm2/kg2 、地球质量M =5.98×1024kg和地球自转角速度ω=7.292×10-5/s代入（5）,可以算出：
b=6.36696×106m=6366.960km
实际测量地球的极半径为6356.755km，差值为10.205km，相对差为0.16%。由于地球并非理想流体组成的球，再加上其他因素的影响所致，但是可以看出相差很小。
扁率用来描述扁球体扁缩程度。根据地球赤道半径（a）=6378.140km和极半径（b）=6356.755km，可以算出地球这个扁球体的扁率：
f====0.34％
我们将地球的扁率与一个用普通圆规画出的圆进行有趣的比较。设想用普通圆规在纸上画一个半径25毫米的圆，画圆的笔画粗细为0.5mm。由于种种原因，比如纸张铺的不平整，笔画的墨迹不完整等，会很容易造成一定的误差，若这个误差为0.1mm，我们仍然认为这是一个很好的圆。这个用普通圆规画出的圆的扁率为:
f==0.40％
可以看出，我们认为很好的一个圆却存在0.40％的扁率，而地球的扁率仅为0.34％，就是说，地球的经线比圆规画出的圆还要圆。说明这个球不太“扁”，应属比较“圆”。
我们再把地球和篮球进行比较。标准篮球的直径为246mm，假设厂家生产的篮球在某个直径方向有1mm的误差，算出这个篮球的扁率为0.41%，超过地球的扁率。因此地球比篮球还要圆。
4 结论
综上所述，我们把地球看成“两极稍扁，赤道略鼓的不规则球体”，只是理论上的意义，实际上地球是一个比普通圆规画出的圆还要圆、比一般篮球还要标准的正球体。
现在，我们已经能够从太空拍摄地球的照片了，根据这些真实照片（图2），至少肉眼看不出地球有“扁”的成分。我们有理由说，地球是一个很标准的球体！

图2 七年级地理课本的封面

参考文献

[１] 金祖孟 陈自悟．地球概论（第三版）． 高等教育出版社，1997年7月第三版
[２]　王民．义务教育教科书　地理七年级上册．中国地图出版社，2012年6月第一版

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