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省丹中高一创新班期末复习讲义 立体几何
立体几何
一、 填空题
1、给出命题：（设表示平面，表示直线，表示点）
①、若；
②、；③、；
④、若。
则上述命题中，真命题有 ．(填上所有正确的序号) ①、②、④
2.将一个球置于圆柱内，球与圆柱的上、下底面和侧面都相切，若球体积为，圆柱体积为，则︰ = 。
3、三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ．倍
解：设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，所以＝.
4、以正方体（棱长为2）的顶点D为坐标原点，以所在的方向分别作为x轴、y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系，则上底面中心的空间直角坐标为 。（1，1，2）
5、 设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若∥且∥，则∥；（2）若且，则∥；
（3）若∥且∥，则∥；（4）若且，则∥．
上面命题中，所有真命题的序号是 ．（2）（4）
6、如图,在长方体中,
,,则三棱
锥的体积为_______.
【答案】3

7、如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为__▲____。

8、如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为(　　)

[解析]　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3.∴＝＝，
S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2. ∴＝＝.
9．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．
[解析]　圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.
所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.
(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6，即r＝3.所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.

10．设、表示平面，为直线，且，；有下列三个事实：①；②∥；③．以其中任意两个为条件，另一个为结论可构成三个命题，其中正确的命题个数是：________． 3个
11．正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为；则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是：________． 60°
12．一个长方体的对角线长为，全面积为S，给出下列四个实数对：
①（8，128）；②（7，50）；③（6，80）；④
其中可作为取值的实数对的序号是 。①②④
13、给出下列命题:
(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,所有真命题的序号为______. 【答案】、、
14、在矩形中,对角线与相邻两边所成的角为,,则.类比到空间中一个正确命题是:在长方体中,对角线与相邻三个面所成的角为,,,则有__________.
【答案】
二、 解答题
15、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知M为棱AB的中点．
（Ⅰ）AC1//平面B1MC；（Ⅱ）求证：平面D1B1C⊥平面B1MC．

证明：（Ⅰ）MO//AC1；
（Ⅱ）MO∥AC1，AC1⊥平面D1B1C ，MO⊥平面D1B1C ，平面D1B1C⊥平面B1MC．

16、已知边长为2的等边△ADE垂直于矩形ABCD所在平面，F为AB的中点，EC和平面ABCD成30°角；（1）求四棱锥E-AFCD的体积；（2）求D到平面EFC的距离．
解：（1）取AD的中点M，连结EM、CM；
由等边△ADE可知：EM⊥AD，
∵△ADE所在平面垂直于矩形ABCD所在平面，
∴EM⊥平面ABCD即EM为四棱锥E-AFCD的高；
∴∠ECM是EC和平面ABCD成的角；
即∠ECM=30°；∵,∴在△EMC中，MC=3；从而,
,∴四棱锥E-AFCD的体积为．
（2）由（1）知三棱锥E-DCF的体积是四棱锥E-AFCD体积的三分之二即；又易知：AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE；
∴，，；
∴由勾股定理的逆定理得：△EFC是等腰直角三角形，∠EFC=90°；
∴；又设D到平面EFC的距离为h，则由：，得；∴ 即；∴D到平面EFC的距离为．
17、已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧面是等边三角形,侧面是以为斜边的直角三角形,为的中点,为的中点. (1)求证:平面;(2)求证:平面;
(3)求三棱锥的体积.

【答案】

18、在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD
的中点，＝2＝2．
（1）求证：；
（2）求证：∥平面；
（3）求三棱锥的体积．
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
取中点，连AF, EF，∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．　∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，
∴，∴，∴．
∴． ∴PC⊥．
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM 平面PAB，
PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．
证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，
AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN
∵EC 平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．
(3)由(1)知AC＝2，EF＝CD, 且EF⊥平面PAC．在Rt△ACD中，AC＝2，
N

∠CAD＝60°，∴CD＝2，得EF＝．则V＝．

19、如图,在四棱锥中,⊥平面, 于.
(Ⅰ)证明:平面⊥平面; (Ⅱ)设为线段上一点,若,求证:平面

【答案】 (Ⅰ)证:因为平面, 平面, 又,是平面内的两条相交直线,
平面, 而平面,所以平面⊥平面
(Ⅱ)证:,,和为平面内两相交直线,平面, 连接,平面,,
⊥平面,平面,, 又共面,,
又平面,平面,平面
20、如图,在三棱柱中,,,且.(1)求棱与BC所成的角的大小;
(2)在棱上确定一点P,使二面角的平面角的余弦值为.

B
A
C
A1
B1
C1
B
A
C
A1
B1
C1
z
x
y
P

【答案】【解】(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系, 则 ,
,. , 故与棱BC所成的角是
(2)P为棱中点,
设,则.
设平面的法向量为n1,,
则
故n1
而平面的法向量是n2=(1,0,0),则,
解得,即P为棱中点,其坐标为