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利用定积分证明数列和型不等式
我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.
 一、(为常数)型
 例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证.
 分析  这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.
 证明  构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图1

即，因为，所以. 所以. 
例2  求证.
 证明  构造函数，又，
 而函数在上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图2
即，
 所以.
 例3  证明。
 证明  构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图3

即

. 所以.

二、型
 例4  若，求证:.
 证明  不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的前项之和，中间的可当作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可.
 构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，
 故不等式成立，从而所证不等式成立.

图4
 例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（Ⅰ）用表示出；
 （Ⅱ）若在内恒成立，求的取值范围；
 （Ⅲ）证明:.
证明  （Ⅲ）不等式左边是通项为的数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，则当时，，此式适合，故只要证当时，即，也就是要证.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.

图5

而，所以，
 故原不等式成立.
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