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利用函数的单调性证明不等式
1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式(函数、导数、不等式综合)
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

一、 利用题目所给函数证明
例：x>0时,求证；x－ln(1+x)＜0
证明：设f(x)= x－ln(1+x) (x0),
则f(x)=∵x>0时,∴f(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，
所以x>0时,f(x)<f(0)=0，即x－ln(1+x)<0成立。
例、求证：n∈N*,n≥3时，2n >2n+1

证明：要证原式，即需证：2n－2n－1>0,n≥3时成立
设f(x)=2x－2x－1(x≥3),则f(x)=2xln2－2(x≥3),
∵x≥3,∴f(x)≥23ln3－2>0
∴f(x)在[3，+∞ 上是增函数，
∴f(x)的最小值为f(3)=23－2×3－1=1>0
所以，n∈N*,n≥3时，f(n)≥f(3)>0, 即n≥3时,2n－2n－1>0成立，

例：f(x)=x3－x, x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤

证明：∵f(x)=x2－1, x∈[－1,1]时,f(x)≤0,
∴f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)=
最小值为f(1)=,即f(x)在 [－1,1]上的值域为；
所以x1,x2∈[－1,1]时，|f(x1)|, |f(x2)|,
即有 |f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)|

【例1】 求证：当时，恒有
分析：构造函数，从其导数入手即可证明。
令，
当 ，
即在上为减函数，在上为增函数，
故函数在上的最小值为，
∴当时，，即
∴，综上可知，当
【警示启迪】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证．

2、直接作差构造函数证明

例 ：当时，证明不等式成立。
证明：设则
∵∴ ∴在内单调递减，
而 ∴
故当时，成立。
例: 证明不等式,其中.
证明 先证
设
则
即
,即在上单调递增

再证
令
则

【例2】 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象下方；
分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，
即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到
要证不等式转化变为：当时，，这只要证明： 在区间是增函数即可。
【绿色通道】设，即，
则=
当时，=
从而在上为增函数，∴
∴当时 ，即，
故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元后作差构造函数证明
【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.
分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。
【绿色通道】令，
则在上恒正，
所以函数在上单调递增，∴时，恒有
即，∴
对任意正整数n，取
【警示启迪】我们知道，当在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可．

4、从条件特征入手构造函数证明
例 证明:当时,有
分析 只要把要证的不等式变形为,
然后把相对固定看作常数,并选取辅助函数.
则只要证明在是单调减函数即可.
证明 作辅助函数
于是有
因为 故
所以
因而在内恒有,所以在区间内严格递减.
又因为,可知
即
所以

【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，
且常数a，b满足a>b，求证：．a>b

【绿色通道】由已知 x+>0 ∴构造函数 ，
则 x+>0， 从而在R上为增函数。
∴ 即 a>b
【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

1、（安徽卷） 设
求证：当时，恒有，

提示：，当，时，不难证明
∴，即在内单调递增，故当时，
，∴当时，恒有

2、（安徽）定义在正实数集上的函数
其中a>0，且， 求证：

提示：设则
= ，∴ 当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，于是函数 在上的最小值是，故当时，有，即

3、已知函数，
求证：对任意的正数、， 恒有
提示：函数的定义域为，
∴当时，，即在上为减函数
当时，，即在上为增函数
因此在取得极小值，而且是最小值
于是，即
令 于是
因此

4、（2007年，陕西卷）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，
且满足≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有 （ ）
（A）af (b)≤bf (a) （B）bf (a)≤af (b)
（C）af (a)≤f (b) （D）bf (b)≤f (a)
提示：，，故在（0，+∞）上是减函数，由 有 af (b)≤bf (a) 故选（A）
5.当时，证明不等式成立。
证明：设则

令则当时，在上单调递增，而 在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。

6. 已知是正整数，且 证明：
析：要证成立，只要证即要证成立。
因为m<n，所以，设函数，只要证f(x)在是减函数。
证明：设函数，则
即：
因为：
所以：，所以在是减函数，而
所以: ，即；
从而：。