2、2n >2n+1
证明：要证原式，即需证：2n－2n－1>0,n≥3时成立
设f(x)=2x－2x－1(x≥3),则f(x)=2xln2－2(x≥3),
∵x≥3,∴f(x)≥23ln3－2>0
∴f(x)在[3，+∞ 上是增函数，
∴f(x)的最小值为f(3)=23－2×3－1=1>0
所以，n∈N*,n≥3时，f(n)≥f(3)>0, 即n≥3时,2n－2n－1>0成立，
例：f(x)=x3－x, x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤
证明：∵f(x)=x2－1, x∈[－1,1]时,f(x)≤0,
∴f(x)在[－1,1
3、]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)=
最小值为f(1)=,即f(x)在 [－1,1]上的值域为；
所以x1,x2∈[－1,1]时，|f(x1)|, |f(x2)|,
即有 |f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)|
【例1】 求证：当时，恒有
分析：构造函数，从其导数入手即可证明。
令，
当 ，
即在上为减函数，在上为增函数，
故函数在上的最小值为，
∴当时，，即
∴，综上可知，当
【警示启迪】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证．
2、直接作
4、差构造函数证明
例 ：当时，证明不等式成立。
证明：设则
∵∴ ∴在内单调递减，
而 ∴
故当时，成立。
例: 证明不等式,其中.
证明 先证
设
则
即
,即在上单调递增
再证
令
则
【例2】 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象下方；
分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，
即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到
要证不等式转化变为：当时，，这只要证明： 在区间是增函数即可。
【绿色通道】设，即，
则=
当时，=
从而在上为增函数，∴
∴当时
5、 ，即，
故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。
3、换元后作差构造函数证明
【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.
分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。
【绿色通道】令，
则在上恒正，
所以函数在上单调递增，∴时，恒有
即，∴
对任意正
6、整数n，取
【警示启迪】我们知道，当在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可．
4、从条件特征入手构造函数证明
例 证明:当时,有
分析 只要把要证的不等式变形为,
然后把相对固定看作常数,并选取辅助函数.
则只要证明在是单调减函数即可.
证明 作辅助函数
于是有
因为 故
所以
因而在内恒有,所以在区间内严格递减.
又因为,可知
即
所以
【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，
且常数
7、a，b满足a>b，求证：．a>b
【绿色通道】由已知 x+>0 ∴构造函数 ，
则 x+>0， 从而在R上为增函数。
∴ 即 a>b
【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。
1、（安徽卷） 设
求证：当时，恒有，
提示：，当，时，不难证明
∴，即在内单调递增，故当时，
，∴当时，恒有
2、（安徽）定义在正实数集上的函数
其中a>0，且， 求证：
提示：设则
8、 = ，∴ 当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，于是函数 在上的最小值是，故当时，有，即
3、已知函数，
求证：对任意的正数、， 恒有
提示：函数的定义域为，
∴当时，，即在上为减函数
当时，，即在上为增函数
因此在取得极小值，而且是最小值
于是，即
令 于是
因此
4、（2007年，陕西卷）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，
且满足≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有 （ ）
（A）af (b)≤bf (a) （B）bf (a)≤af (b)
（C）af (a)≤f (b) （D）bf (b)≤f (a)
提示：，，故在（0，+∞）上是减函数，由 有 af (b)≤bf (a) 故选（A）
5.当时，证明不等式成立。
证明：设则
令则当时，在上单调递增，而 在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。
6. 已知是正整数，且 证明：
析：要证成立，只要证即要证成立。
因为m
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