专题六二次函数中的探究性问题.doc

专题六　二次函数中的探究性问题
1. 已知，如图，把抛物线L1：y＝x2的图象平移得到抛物线L2过原点O和A(4k，0)两点，其中k >0，顶点为C，过点C作直线CD平行于y轴，与抛物线L1交于点D.

(1)直接写出平移后抛物线L2的解析式(用含k的代数式表示)；
(2)连接AC、OC、AD、OD.
①判断四边形OCAD的形状，并说明理由；
②四边形OCAD的形状能否成为正方形， 如果能，求出k的值，如不能，说明理由.
(3)若点P为对称轴CD上的点，在抛物线L2上是否存在动点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，如不存在，说明理由.(用含k的代数式表示)
【解析】　(1)平移后的解析式y＝x(x－4k)；
(2)①四边形OCAD是菱形.
设CD与x轴交于点M，根据对称性可得MO＝MA，可得顶点C(2k，－4k2)，
点D的坐标为(2k， 4k2)，可知MD＝MC，四边形OCAD是平行四边形，
又因为CD垂直于OA，所以四边形OCAD是菱形.
②四边形OCAD的形状可以成为正方形，
理由如下：四边形OCAD是菱形，当OA＝CD时，四边形OCAD的形状是正方形，
即8k2＝4k，解得k＝0(不合题意，舍去)，k＝；
(3) 存在点Q的坐标为(6k，12k2)、(－2k，12k2)、(2k，－4k2).
2. 如图1，抛物线y＝mx2－11mx＋24m(m＜0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧).

(1)写出与抛物线有关的三个结论；
(2)在△OAC中，OA＝AC，且∠BAC＝90°，抛物线经过点A，求此时抛物线的解析式；
(3)如图2，在(2)的条件下，点M始终位于抛物线上A、C两点之间， 过点M作垂直于x轴的直线l：x＝n，连接AM、MC，试探究：是否存在实数n，使△AMC的面积最大，如存在，求出最大值，如不存在，说明理由.
【解析】　(1)因为抛物线y＝mx2－11mx＋24m(m＜0)与x轴交于B、C两点，
所以抛物线与x轴的交点坐标为：0＝mx2－11mx＋24m，解得：x1＝3，x2＝8，所以B(3，0)，C(8，0)，
开口向下，对称轴是直线x＝5.5，顶点坐标(5.5，－m)；
(2)过A作AE⊥OC于点E，
因为OA＝AC，所以 OE＝EC＝×8＝4，所以BE＝4－3＝1，又因为∠BAC＝90°，所以△ACE∽△BAE，所以＝，
所以AE2＝BE·CE＝1×4，所以AE＝2，
所以点A的坐标为(4，2)，把点A的坐标(4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－，
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12；
(3)存在实数n，使△AMC的面积最大，
理由如下：因为直线x＝n与抛物线交于点M，
所以点M的坐标为(n，－n2＋n－12)，
由题意可知： A(4，2)，C(8，0)，由待定系数法可求得直线AC的解析式为y＝－x＋4，设直线l：x＝n与CA交于点N，得N(n，－n＋4)，
所以MN＝－n2＋n－12－(－n＋4)＝－n2＋6n－16，
所以△AMC的面积＝MN×3×＝(－n2＋6n－16)＝ －(n－6)2＋3，
即当n＝6时， △ AMC的面积最大，最大面积是3.
3. 如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4).

(1)求直线BD和抛物线的解析式；
(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】　(1)∵y＝2x＋2，∴当x＝0时，y＝2，
∴B(0，2).
当y＝0时，x＝－1，∴A(－1，0).
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点B(0，2)，D(3，－4)，
∴解得
∴y＝－x2＋x＋2.
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，由题意，得
解得：
∴直线BD的解析式为：y＝－2x＋2；
(2)存在.
如答图1，设M(a，－a2＋a＋2).
∵MN垂直于x轴，∴MN＝－a2＋a＋2，ON＝a.
∵y＝－2x＋2，∴y＝0时，x＝1，
∴C(1，0)，∴OC＝1.
∵B(0，2)，∴OB＝2.
当△BOC∽△MNO时，＝， 即＝，
解得：a1＝1， a2＝－2(舍去)，∴M(1，2).
如答图2，当△BOC∽△ONM时，＝，
即＝，
∴a＝或(舍去)，
∴M(， ).
∴符合条件的点M的坐标为(1，2)，(， ).

4. (2016·原创)已知，如图，抛物线：y1＝－(x－1)2＋1、 y2＝－(x－2)2＋2、y3＝－(x－3)2＋3、…yn＝－(x－n)2＋n(n为正整数)称为“系列抛物线”，分别与x轴交于点O，A、B，C、E，F、….

(1)AO＝2，yn＝－(x－n)2＋n与x轴交点之间的距离是2；
(2)是否存在正整数n，使得以yn＝－(x－n)2＋n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形，若存在，求出正整数n，若不存在，说明理由；
(3)以抛物线yn＝－(x－n)2＋n的顶点P为一个顶点作该二次函数图象的内接等边三角形PMN(M，N两点在该二次函数的图象上)，请问：△PMN的面积是否会随着n的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由.
【解析】　(1)抛物线y1＝－(x－1)2＋1与x轴相交，令y＝0得到两交点的横坐标为0和2，故AO的距离为2，yn＝－(x－n)2＋n与x轴两交点坐标为(＋n，0)和(－＋n，0)，所以yn＝－(x－n)2＋n与x轴交点之间的距离是2；
(2)存在，n＝3.
理由：如答图1，设yn＝－(x－n)2＋n的顶点G(n，n)，抛物线与x轴两交点坐标为F(＋n，0)和E(－＋n，0)，EF＝2，过点G作GK垂直x轴于点K，得EK＝，GK＝n， 因为yn＝－(x－n)2＋n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形，所以得n＝·，解得n1＝3，n2＝0(不合题意，舍去)

(3)△PMN的面积不会随着n的变化而变化.
理由如下：如答图2，根据抛物线和等边三角形的对称性，可知MN⊥y轴，
设抛物线的对称轴与MN交于点H，则PH＝HM，设M(m，－(m－n)2＋n)，
∴HM＝n－m(m<n)，
又PH＝yP－yH＝n－[－(m－n)2＋n]＝(m－n)2，
∴(n－m)2＝(n－m) ，∴n－m＝，∴HM＝，PH＝3，
∴S△PMN＝PH×2HM＝×3×2×＝3，
∴△PMN的面积不会随着n的变化而变化.
5.我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.如图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点.
(1)如图1，如果抛物线y＝x2的过顶抛物线为y＝ax2＋bx，C(2，0).
那么：①a＝1，b＝－2；
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为(D)
A.平行四边形　　　　　B.矩形 C.菱形 D.正方形
(2)如图2，抛物线y＝ax2＋c的过顶抛物线为F2，B(2，c－1).求四边形ABCD的面积；
(3)如果抛物线y＝x2－x＋的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为2，请直接写出点B的坐标.

【解析】　(1)①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x＝1.将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得
解得
②当x＝1时，y＝x2，D(1，1)，
y＝x2－2x＝－1，B(1，－1)，
四边形ABCD的对角线相等，且互相垂直平分，
四边形ABCD是正方形；
(2)∵B(2，c－1)，∴AC＝2×2＝4.∵当x＝0，y＝c，∴A(0，c).∴F1∶y＝ax2＋c，B(2，c－1).
设F2∶y＝a(x－2)2＋c－1，
∵点A(0，c)在F2上，
∴4a＋c－1＝c，∴a＝.当x＝2时，y＝ax2＋c＝4a＋c，D(2，4a＋c)，∴BD＝(4a＋c)－(c－1)＝2.
∴S四边形ABCD＝AC·BD＝4；
(3) 如答图所示：

y＝x2－x＋＝(x－1)2＋2.
设F2的解析式y＝(x－1－a)2＋2＋b，
B(1＋a，2＋b)，C(2a＋1，2)，D(1＋a，a2＋2).
B点在A点的右侧时，AC＝1＋a－1＝，BD＝a2＋2－2－b＝2，
解得a＝，b＝－1；
B1(1＋，1)，B点在A点的左侧时，AC＝1－(a＋1)＝，BD＝a2＋2－2－b＝2，解得a＝－，
b＝－1，B2(1－，1)，
综上所述：B1(1＋，1)，B2(1－，1).