函数的最值问题的彻底解决.doc

再谈函数的最值问题

魏烈斌

湖北省荆州中学 434020
文[1]指出：若为正数，常数，且，则当时，函数取得最值. 其中
① 当且时，取最大值；
② 当且时，取最小值；
③ 当且时，取最小值；
本文利用导数给出它的推广，彻底解决的值域与最值问题.
定理. 若为正常数，为实常数，函数
（Ⅰ）若，则是上的常数函数；若，则当时，函数的值域为，当时，函数的值域为；
（Ⅱ）若，则函数的值域为，且当时，函数取得最大值；
（Ⅲ）若，则函数的值域为，且当时，函数取得最小值；
（Ⅳ）若，则函数的值域为，且当时，函数取得最小值.
证明.（Ⅰ）是显然的. 下面证明（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）.
易知函数在上连续.
且
记，有，并且，.
（Ⅱ）时，，，当时，，从而，即在内递增；当时，，有，在内递减. 且.
所以，函数的值域为，且当时，函数取得最大值.
（Ⅲ）时，，当时，，从而，即在内递减；当时，，有，即在内递增. 且.
函数的值域为，且当时，函数取得最小值.
（Ⅳ）时，，当时，，从而，即在内递减；当时，，有，即在内递增.
另一方面，.
所以，函数的值域为，且当时，函数取得最小值.

参考文献
1 黄俊明. 关于函数的最值. 数学通讯. 1997（10）.
2 周忠领. 再谈求的最小值问题. 数学通讯. 1993（9）.
3 龙旺章. 一个最值问题的物理模型. 数学通讯. 2001（11）.
4 徐和郁. 三类三角函数的最值. 数学通讯. 1994（8）.

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