利用二次函数图象求最值.doc

利用二次函数求最值
利用二次函数求最值主要有三个基本步骤：
1、根据题意建立适当的二次函数关系式，
2、确定函数关系式中自变量的取值范围，
3、根据二次函数以及自变量的取值范围画出相应的函数图象，利用图象中的最高点和最低点来确定最值。
一、例题
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销售单价不低于成本单价，销量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝－x＋120的关系.
（1）若要求商场获利不得高于60％，则销售单价定为多少元时商场可获得最大利润，最大利润是多少？
（2）若要求商场获利不得高于45％，则销售单价定为多少元时商场可获得最大利润，最大利润是多少？

分析：
本题问当单价定为多少时，商场所获利润最大，由题意不难看出，利润是随着销售单价x（元）的变化而变化，因此，我们可以通过建立利润与单价x（元）之间的函数关系式，并利用函数的图象找出最值.
另外，在利用图象求最值的过程中，要注意自变量的取值范围.
解：设当销售单价为x元时，商场所获利润为Ｗ元 （建立函数关系式首先要设出必要的自变量、因变量）
（1）根据题意可列出：

∵销售单价不低于成本单价，且要求商场获利不得高于60％
∴
∴
画出相应的函数图象（抛物线的一部分）：

由函数图象可以直观看出，图象的最高点的坐标是（90,900），即，当x＝90的时候，W可以取得最大值900，因此，若要求商场获利不得高于60％，则销售单价定为90元时商场可获得最大利润，最大利润是900元.

（2）∵销售单价不低于成本单价，且要求商场获利不得高于45％
∴
∴
画出相应函数图象（抛物线的一部分）：

由函数图象可以直观看出，图象的最高点的坐标是（87,891），即，当x＝87的时候，W可以取得最大值891，因此，若要求商场获利不得高于45％，则销售单价定为87元时商场可获得最大利润，最大利润是891元.
解题后反思：
比较本题的两问，我们不难发现，同一个二次函数关系式，因为它们的自变量的取值范围不一样，最终导致了结果的不一样.
二次函数的图象是一个开口向下，对称轴为，顶点坐标为（90,900）的抛物线，在不考虑自变量取值范围的前提下，该函数因为图象顶点在最高点，所以当x＝90的时候，W可以取得最大值900，但是由于在实际问题情境中，自变量有一定的取值范围，那结果就不一定了.像本题的第一问，因为函数图象的顶点在题目规定的范围内，并且是最高点，因此就是在x＝90的时候取得最大值，而第二问中，函数图象的顶点并不在规定的范围内，因此最大值就不再是在x＝90的时候取得了.
为了更好地利用二次函数求最值，我们在建立了适当的二次函数关系式，确定了自变量的取值范围以后，应当结合自变量取值范围，画出相应的函数图象，利用函数图象的最高点或最低点来确定最值，而不能单纯地找抛物线的顶点来确定.

二、练习
1、已知二次函数，当时，函数值y的最大值是（ ）
A、－3 B、－6 C、12 D、－1

2、已知正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN.当BM等于（ ）时，四边形ABCN的面积最大.
A、2 B、2.5 C、1 D、3

3、某商店经营一种成本为40元/千克的水产品，据市场分析，若按50元/千克销售，1个月能售出500kg；销售价每涨1元，月销售量就减少10kg.针对这种水产品的销售情况，销售单价定为（ ）元时，每月获得的利润最多.
A、65 B、70 C、55 D、80