集合与常用逻辑用语函数考试题.doc

集合与常用逻辑用语　函数、导数考试题
(时间100分钟，满分150分) 姓名--------------------
一、选择题(本题共12小题 ，每小题5分，共60分)
1．已知函数f(x)＝若f(1)＝f(－1)，则实数a的值等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　根据题意，由f(1)＝f(－1)可得a＝1－(－1)＝2.
2．若全集U＝，则集合A＝的补集∁UA为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为U＝{x∈R|x2≤4}＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R||x＋1|≤1}＝{x∈R|－2≤x≤0}．借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}．
3．下列函数中，恒满足f(2x)＝[f(x)]2的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝(x≠0)
C．f(x)＝ex D．f(x)＝sin x
解析：选C　若f(x)＝ex，则f(2x)＝e2x＝(ex)2＝[f(x)]2.
4．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃b∈R，f(x)为奇函数
D．∃b∈R，f(x)为偶函数
解析：选D　注意到当b＝0时，f(x)＝x2是偶函数．
5．已知函数y＝f(x)的图象在点M(3，f(3))处的切线方程是y＝x＋，则f(3)＋f′(3)的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选B　因为切点(3，f(3))在切线上，所以f(3)＝1＋＝，切点处的导数为切线的斜率，所以f′(3)＝，所以f(3)＋f′(3)＝2.
6．已知集合A是函数f(x)＝的定义域，集合B是整数集，则A∩B的子集的个数为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
解析：选A　要使函数f(x)有意义，则需解得－1≤x<0或0<x≤1，所以函数的定义域A＝{x|－1≤x<0，或0<x≤1}．所以A∩B＝{1，－1}，其子集的个数为4.
7．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝b<c B．a＝b>c
C．a<b<c D．a>b>c
解析：选B　∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，
∴a＝b.
又∵函数y＝logax(a>1)为增函数，
∴a＝log23>log22＝1，c＝log32<log33＝1，∴a＝b>c.

8．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

解析：选B　函数y＝x＝，该函数的图象就是抛物线y2＝x在x轴及其以上的部分，故函数y＝x－1＝－1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x轴对称的图象，即选项B中的图象．
9．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C　依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点．
10．(2012·河南三市第二次调研)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝(　　)
A．(X∪Y)∩∁UZ B．(X∩Y)∪∁UZ
C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z
解析：选B　依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁UX)∪(∁UY)，(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁UZ)＝(X∩Y)∪(∁UZ)．
11．(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)
A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．充要条件
解析：选D　由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立．
12．下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(¬q)是真命题．其中真命题为(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：选A　由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(¬q)为假命题，故④不正确．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2013·河北质检)函数y＝log(3x－a)的定义域是（，＋∞），则a＝________.
解析：由3x－a>0得x>.因此，函数y＝log(3x－a)的定义域是（，＋∞），所以＝，即a＝2.
答案：2
14． (2012·郑州高三模拟)曲线y＝cos x与坐标轴所围成的图形面积是________．
解析：结合图形知其面积为
S＝cos xdx＋＝sin x0－sin x＝1－(－1－1)＝3.
答案：3
15．(2012·山东高考)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x)在[－1,2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0<a<1时，函数f(x)在[－1,2]上的最小值为a2＝m，最大值为a－1＝4，解得a＝，m＝<.所以a＝.
答案：
16．(2012·福州质检)已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体：
(1)f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f(x)有零点．那么在函数①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝2x－1，③f(x)＝④f(x)＝x2－x－1＋ln x中，属于M的有________．(写出所有符合的函数序号)
解析：对于①，∵f(－x)＝|－x|－1＝|x|－1＝f(x)，
∴f(x)＝|x|－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f(x)＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x＝0，
∴②符合条件；对于③，令x>0，则－x<0，∴f(x)＝x－2，f(－x)＝－x＋2＝－(x－2)，即f(x)＝－f(－x)，
又f(0)＝0，∴f(x)＝是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f(x)＝x2－x－1＋ln x的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f′(x)＝2x－1＋＝＝>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f(e)＝e2－e－1＋1＝e(e－1)>0，∴函数f(x)在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．
答案：②④
三、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
解：∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)，又当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
当x＝0时，f(x)＝0.
∴函数解析式为f(x)＝
作出函数的图象如图．

根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的部分图象如右图所示．
(1)求f(x)的解析式与定义域；
(2)函数f(x)的图象能否由y＝log3x的图象平移变换得到．
解：(1)由图可知(2,1)(5,2)是f(x)＝log3(ax＋b)上的两点，将其代入函数表达式可得⇒
∴f(x)的解析式为f(x)＝log3(2x－1)．
∵f(x)有意义需满足2x－1>0，∴x>.
∴f(x)的定义域为.
(2)∵f(x)＝log3(2x－1)＝log3
＝log3＋log32，
∴f(x)的图象是由y＝log3x的图象向右平移个单位，再向上平移log32个单位得到的．
故可以由y＝log3x的图象平移得到．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x(x2－ax－3)．
(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在区间[1,4]上的最大值．
解：(1)∵f(x)＝x(x2－ax－3)，∴f′(x)＝3x2－2ax－3.
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，
即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立．
得a≤在[1，＋∞)上恒成立．
∵当x≥1时，≥(1－1)＝0，
∴a≤0.
(2)依题意得f′＝0，
即＋a－3＝0，得a＝4，
故f(x)＝x3－4x2－3x.
令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－，x2＝3.
当x在[1,4]上变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

x
1
(1,3)
3
(3,4)
4
f′(x)

－
0
＋

f(x)
－6

－18

－12
所以f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.
20．(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解：(1)根据题意，得
S＝
＝
(2)①∵当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，
∴当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，
∴当t＝31时，S的最大值为6 210.
∵6 210<6 400，
∴当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x1，x2∈[0,4]均有|f(x1)－f(x2)|<1成立，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝3.
∵a>0，
∴由f′(x)>0，得0<x<3；由f′(x)<0，得x<0或x>3.故函数f(x)的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)，(3，＋∞)．
(2)由(1)易知函数f(x)在[0,3]上为增函数，在[3,4] 上为减函数．
∴函数f(x)在[0,4]上的最大值f(3)＝，
又∵f(0)＝－a<0，f(4)＝11ae－4>0，
∴f(0)<f(4)．
∴f(x)在[0,4]上的最小值为f(0)＝－a.
∴要使函数f(x)对任意x1，x2∈[0,4]均有
|f(x1)－f(x2)|<1成立，只需|f(3)－f(0)|<1即可，
即<1.
∵a>0，∴0<a<.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；
(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．
解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．
由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a>0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．
(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点即解得0<a<.
所以a的取值范围是.
(3)当a＝1时，f(x)＝x3－x－1.由(1)知f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此，f(x)在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－.所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.
②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]．
下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小．
由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有
f(－2)≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．
又由f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，
从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－.
所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.
综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.

第一节 平面向量的概念及其线性运算
*基础知识填空*
一、向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

三、向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
四、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[小题练习]
1．下列命题正确的是(　　)
A．不平行的向量一定不相等
B．平面内的单位向量有且仅有一个
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量
D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反
解析：选A　对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.
2.如右图所示，向量a－b等于(　　)
A．－4e1－2e2　　 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2　　　 D．3e1－e2
解析：选C　由题图可得a－b＝＝e1－3e2.
3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是(　　)
A．＝　　　　　　　　 B．＝2
C．＝－ D．＝－2
解析：选B　＝＋＋＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以解得
答案：－
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所
在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

考点一．向量的有关概念
典题导入
[例1]　给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[自主解答]　①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥.
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝.
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
[答案]　C
由题悟法
1．平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
2．几个重要结论
(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
(3)向量平行与起点的位置无关.
以题试法
1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
考点二 向量的线性运算
典题导入

[例2]　(1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A．0　　　　　　　 B．
C． D．
(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
[自主解答]　(1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝CF―→.
(2)∵＝＋，＝＋，
∴2＝＋＋＋.
又∵＝2，
∴2＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋.
∴＝＋，即λ＝.
[答案]　(1)D　(2)A
由题悟法
在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．

以题试法
2．(2012·汉阳调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：
①＋＝＋；②＋＝＋；
③－＝＋.其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C　①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．

考点三 共 线 向 量

典题导入
[例3]　设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[自主解答]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，
＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b
＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0.
∴k＝±1.

由题悟法
1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．
以题试法
3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有
解之得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
[高考典例]
(2012·四川高考)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b　　　　　B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
[尝试解题]　对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能反向；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.　
[答案]　C
过关检测作业题
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由a∥b⇒a＝λb，不能得出a＋b＝0.
2．已知向量p＝＋，其中a，b均为非零向量，则|p|的取值范围是(　　)
A．[0， ] B．[0,1]
C．(0,2] D．[0,2]
解析：选D　由已知向量p是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p|max＝2，当这两个单位向量反向时，|p|min＝0.
3．下列等式：①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选C　a＋(－a)＝0，故③错．
4．(2012·福州模拟)若a＋b＋c＝0，则a，b，c(　　)
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形
D．一定可构成三角形
解析：选A　当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形．
5．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由＋2＝3，得－＝2－2 ，即＝2，所以＝.
6．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么＝(　　)
A. －　　　　 B. ＋
C. ＋ D. －
解析：选D　在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.
7．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，
＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2
∵＝2e1－8e2，∴＝2，
又∵AB与BD有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，
∵B，D，F三点共线，得＝λ，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得解得k＝12，
∴k＝12.