简单复合函数的导数.doc

选修2-2 导数及其应用
§1.2.3 简单复合函数的导数 (总第52课时)
一、【目的要求】（1）掌握求复合函数的导数的法则 ； （2）熟练求简单复合函数的导数。
二、【重点难点】 复合函数的求导法则是本节课的重点与难点。
三、【知识回顾】
1、常见函数的导数公式：
； ；(C为常数) ；（为常数）
； ； ；
； ； 。
2、导数的四则运算法则：
=________
四、引入：
1、试求：的导数。
解法1：展开后求导知；
解法2：，两者得到的结论不一致，显然解法2是存在问题的。那究竟存在什么问题呢？我们先从今天学的复合函数说起。

2、什么是复合函数？由几个基本初等函数复合而成的函数，叫复合函数．
上述函数由，u=3x-1复合而成； 又如y=sin2x由y=sinu，u=2x复合而成。
由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量，f(u)为外函数，u(x)为内函数。
对于，由于，而，因而
=2(3x-1)×3=6(3x-1)=18x-6，这样与解法1是一致的。

3、我们考察y=sin2x，对吗？一方面=……
=2cos2x，所以上述解法是不对的，但此法繁琐。另一方面，，=2,
所以=2cos2x（其中u=g(x)）。这样显得简单多了。

4、一般地：复合函数y=f(g(x))的求导法则：（其中u=g(x)）。
特别地：复合函数y=f(ax+b) 的求导法则：
若y=f(u)，u=ax+b，则=

五、【例题讲解】

例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？并求其导数。

（1） (2)

(3) (4)

规律总结：1、复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
2、熟练后可直接观察得出结论。

例2、（1）求下列函数的导数：
① ② ③ ④ y = cos(1+x2)

(2) 曲线y=sin2x在点P处的切线方程是 。
（3）利用（诱导公式），（求导公式）
证明：

当堂练习：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；

⑷ （5） （6）y=

例3、求下函数的导数：
（1） （2）

(3) (4)

随 堂 练 习
简单复合函数的导数
1、 。
2、 。
3、已知，且，则的值为________ 。
4、已知函数，则=__________ 。
5、已知曲线C：，过点Q(0，－1)作C的切线，切点为P，则不论a怎样变化，点P总在一条定直线 上。

6、已知f(5)=5，，g(5)=4，
(1) 若h(x)=3 f(x) +2 g(x)，则h(5)= ， 。
（2）若h(x)=f(x) g(x) +1， 则h(5)= ， 。
（3）若，则h(5)= ， 。
7、求下列函数的导数：
(1) (2) (3) （4）

（5） （6） （7）y=sin(3x－)

（8） y = (9) y = (10)

8、求与曲线在的切线平行，并且在轴上的截距为3的直线方程。

9、已知函数的图像在点M(－1,f(x))处的切线方程为，
求的解析式

10、某港口在一天24小时内潮水的高度近似地满足 ，其中s的单位是m,t的单位是h，求18点时的潮水起落速度。

11、如图，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率是多少。