二次函数（面积计算）.doc

第十讲二次函数（面积与计算）
首先仔细观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积.

在以上问题的分析中研究思路为：
（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形的计算方法
注意：
（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.
（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）
（3）思考一下对于（5）、（7）两图是否可以连结BD来解决呢？
（4）在求图形的面积时常常使用到以下公式：
抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)
抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=
抛物线顶点坐标（-, ） 抛物线与y轴交点（0，c）
【例题分析】

（2014•舟山）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
（1）当m=时，求S的值．
（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．
（3）①若S=时，求的值；
②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．

已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p>0）经过A、C两点．
（1）用m、p分别表示OA、OC的长；
（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，动点在轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与轴的另一个交点向点运动，点由点沿线段向点运动且速度是点运动速度的2倍．
（1） 求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2） （2）如果点和点同时出发，运动时间为（秒），试问当为何值时，是直角三角形；
（3）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知︱OA︱：︱OB︱＝1：5，︱OB︱＝︱OC︱，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A、B、C三点。
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【课堂练习】
1.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2

2.已知二次函数与一次函数的图像相交于点A(-2,4),B(8,2)。如图所示，则能使成立的x的取值范围是 。
3.记抛物线的图象与正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P1， P2，…，P2011，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就记，W的值为（ ）[来源:学_科_网]
A. 505766 B. 505766.5 C. 505765 D. 505764

4．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是( ).

A B C D
5．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是( ).

6.（2013•绥化）如图，已知抛物线y=1\a（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

7.（2013•南宁压轴题）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
【课后练习】
1.设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ．

A
B
C
D
E
F
M
N
2.如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上 一点（不与点，重合），压平后得到折痕．
设，
当时，则 ．
若（为整数），则 ．
3. 两个反比例子函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，……，P2010在反比例函数y＝图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，……，x2010，纵坐标分别是1，3，5，……，共2010个连续奇数，过点P1，P2，P3，……，P2010分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），……，Q2010（x2010，y2010），则y2010＝_______________。
4.在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字－2，－1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同. 现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋2x＋5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是_____________.
5.整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：
（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？
（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？

8如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数的图象为.
（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.
（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.
（3）设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.
（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.