2014届北京市海淀区高三下学期查漏补缺文理数学试题-及答案.doc

海淀区高三年级第二学期查漏补缺题
数学 2014.5
【容易题】{要重视基础性题目的知识覆盖度，决不能有疏漏，不能满足四套试题的题目，而是要全面温习每一个知识条目下的各个知识点}
1.已知集合，，若，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
2.已知，是虚数的充分必要条件是（ ）
A. B. C. D. 且
3.极坐标方程表示的曲线是（ ）
A.圆 B.直线 C.圆和直线 D. 圆和射线
4.参数方程（为参数）表示的曲线是（ ）
A.圆 B.直线 C.线段 D.射线

【中等题】{本组试题主要是针对四套试题考点题目，补充一些可能呈现的方式，或者是缺少的知识条目考查，请学生注意关注}
5.已知，其中，若三点共线，则 .
6.已知点，点在圆（为参数）上，则圆的半径为 ，
最小值为 .
7.如图，圆与圆相交于两点，与分别是圆与
圆的点处的切线.若，则 ,
若，则 .

8. 如图，是的高，且相交于点.若，
且，则 ， .

9.已知盒子里有大小质地相同的红、黄、白球各一个，从中有放回的抽取9次，每次抽一个球，则抽到黄球的次数的期望= ，估计抽到黄球次数恰好为次的概率 50%（填大于或小于）
10.三个同学玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），那么“其中两人同时赢了第三个人”的结果有
种.
11. 函数的值域为 ________ .
12.在中，，则 .
13.在中，若且，则的范围是 .
14.已知 ，“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
15.已知，则 .
16.若函数为奇函数，则满足的实数的取值范围是 .
17.已知数列的前项和为，且满足，则_______.
18.已知数列的前项和，且，则_________,__________.

【难题】{7，8,13，14位置的题目，供大家在本校最后的模拟练习中选用，基础一般的学校可忽略本组试题}
19.已知，曲线恒过点，则点的坐标为，若是曲线上的动点，且的最小值为，则 .

20.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.
（1）下列函数中具有性质P的有
① ② ③，
（2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是 .

【理】21.已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，
例如：.
下列给出的结论中：
① 存在数列使得；
② 如果数列是等差数列，则；
③ 如果数列是等比数列，则；
正确结论的序号是____.

B
C
A
P
22.已知三棱锥的侧面底面，
侧棱，且.
如图平面，以直线为轴旋转三棱锥，
记该三棱锥在平面上的俯视图面积为，
则的最小值是 ，的最大值是 .

23.已知点分别是正方体
的棱的中点，点分别在
线段上. 以为顶点
的三棱锥的俯视图不可能是（ ）

A B C D

【解答题】{本组题主要是针对常规题目求解过程，突出操作背后的道理的理解，在模拟题讲评后再次演练落实模拟试题体现的解决过程中的“灵活与变通”}
1.【理】如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，
，，是线段上一点，
.
（Ⅰ）当时，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.

2.已知曲线.
（Ⅰ）求函数在处的切线；
（Ⅱ）当时，求曲线与直线的交点个数；
（Ⅲ）若，求证：函数在上单调递增.

3.【理】已知椭圆的方程为.
（Ⅰ）求椭圆的长轴长及离心率；
（Ⅱ）已知直线过，与椭圆交于，两点，为椭圆的左顶点.
是否存在直线使得？如果有，求出直线的方程；如果没有，请说明理由.
【文】（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，直线过且与椭圆交于，两点（不与重合）.求证：（或者证明是钝角三角形）

4.【文】已知椭圆的右焦点，直线:恒过椭圆短轴一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若关于直线的对称点（不同于点）在椭圆上，求出的方程.

5.【理】已知椭圆的焦距为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，
是否存在使得点关于的对称点（不同于点）在椭圆上？
若存在求出此时直线的方程，若不存在说明理由.

海淀区高三年级第二学期查漏补缺题参考答案
数 学 2014.5
【容易题】
1.C 2.C 3.D 4.C
【中等题】
5. 3 6. 2 ， 7. 8. 2 ， 9. 3 ， 小于 10. 9 11.
12. 13. 14. D
15.答案： 2 .
分析：由 得 ，所以 ，
所以 .
16.答案： .
分析：由函数是奇函数，可得 ，得（经检验符合奇函数），画图可知单调递增，所以 .
17.答案：
分析：由 可得 ，解得 ，
又时，，即，
所以.
18.答案：，
分析：由可得，解得，.
又时，，即，
所以.
【偏难题】
19.答案： 1 .
分析：因为 所以；
考察的几何意义，因为，所以 取得最小时，
点在上的投影长应是，所以重合，
这说明曲线在点处的切线与垂直，
所以.
20.答案（1） ① ② ，（2） .
分析：（1）在 时有解即函数具有性质P，
① 解方程，有一个非0 实根；
② 作图可知；
③ 作图或解方程均可.
（2）具有性质P，显然，方程 有根，
因为 的值域为,所以 ,
解之可得 或 .
【理】21.答案：__① ③__.
分析：可得是奇函数，
只需考查时的性质，此时都是增函数，
可得在上递增，
所以在上单调递增。
若，则，所以，
即，所以.
同理若，可得，
所以时，.
① 显然是对的，只需满足
② 显然是错的，若，
③ 数列是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；
若各项符号不一致，公比，
若是偶数，符号一致，
又符号一致，
所以符合；
若是奇数，可证明“
和符号一致”
或者“
和符号一致”，
同理可证符合；
B
C
A
P
22.答案： ， 8 .
分析：因为侧面底面，
所以旋转过程中等边在底面上的射影总在侧面与平面的交线上，且长度范围是，由已知可推证，
所以最小值为，最大值为.
23.答案： C
分析：在底面上考察，
四点在俯视图中它们分别在上，
先考察形状，再考察俯视图中的实虚线，可判断C不可能！
因为正三角形且当中无虚线，说明有两个顶点投到底面上重合了，
只能是投射到点或者投射到点，
此时俯视图不可能是正三角形。

【解答题】
1.解：（Ⅰ）取中点，连接，
又，所以.
因为，所以,四边形是平行四边形，
所以
因为平面，平面
所以平面.
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，
且，所以平面，
所以，
因为，所以平面.
如图，以为原点，建立空间直角坐标系.
则，
是平面的一个法向量.
设平面的法向量，则
，即
令，则，所以, 所以，
由题知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）因为，所以与不垂直,
所以不存在点满足平面.
2.解：（Ⅰ），
因为，所以，
所以函数在处的切线为.
（Ⅱ）当时，
曲线与直线的交点个数与方程的解的个数相同，
显然是该方程的一个解.
令，则
由得
因为时，时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以最小值为，
因为，所以，
因为，，
所以的零点一个是0，一个大于，
所以两曲线有两个交点.
（Ⅲ）
因为，所以当时，，所以
所以
所以函数在上单调递增.

3.解：（Ⅰ）由方程可知
所以长轴长为8，且
所以离心率.
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时,

（2）当直线的斜率存在时,设直线的方程为，设,由 消去得：

综上，恒成立，为钝角
所以，不存在直线使得
（文科答案略）
4.解：（Ⅰ）因为，所以直线:恒过，即
设椭圆方程为，
由已知可得，所以，
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）法1：当时，直线，点不在椭圆上；
当时，可设,代入椭圆方程化简得
，
，所以
若关于直线对称，则其中点在直线上
所以，即
又在直线上，所以，
消得，解得，
所以存在直线或符合题意.
法2：设关于直线的对称点
因为直线恒过点，
所以，
所以 ①
又②
联立①②解得或或
因为不同于点，所以或，
所以存在直线或符合题意.
5.解：（Ⅰ）
（Ⅱ）法1：当时，直线，点不在椭圆上；
当时，可设直线，即
代入整理得
因为，
所以
若关于直线对称，
则其中点在直线上
所以，解得
因为此时点在直线上，
所以对称点与点重合，不合题意
所以不存在满足条件.
法2：设，代入椭圆方程化简得
，
，所以
若关于直线对称，则其中点在直线上，
所以，即.
又在直线上，
所以，
消得，所以
因为此时点在直线上，
所以对称点与点重合，不合题意，
所以不存在满足条件.
法3：由可知直线恒过点，
设点关于的对称点坐标为，
因为点，关于对称，所以
所以 ①
又在椭圆上，所以②
联立①②解得或
因为与点重合，舍，
因为与关于对称
所以不存在满足条件.