福建2011届高三数学四校联考摸底试卷-理-新人教A版.doc

永春一中 培元中学
季延中学 石狮联中
2010—2011学年 高三年第一次统一考试
试卷（理科数学）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I卷和第II卷两部分
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1、已知集合，，则
A. B. C. D.
2、设变量,满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A. 4 B .11 C. 12 D. 14
3、下列命题 ：①；②； ③； ④“”的充要条件是“,或”. 中,其中正确命题的个数是 （ ）
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
4、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A、向左平移 B、向右平移
C、向左平移 D、向右平移

5、已知函数，则方程在下面哪个范围内必有实根（ ）
A. B. C. D.
6、 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为（ ）
A．①随机抽样法，②系统抽样法 B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法 D．①②都用分层抽样法
7、，为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：
①a//、b；②a⊥、b；③a⊥、b；④a//、b且a与的距离等于b与的距离，其中是a⊥b的充分条件的有 （ ） A．①④ B．① C．③ D．②③
8、在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知, . 则角为 （ ）
A B
９、函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C ． D ．
１０、一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路程是（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。
11、展开式中，常数项是__________
12、若，且()，则实数的值为
13、设是公差为正数的等差数列，若，，
则_____.
14、=________.
15、甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b,且a,b {1，2，3，4},若|ab| 1,则称甲乙”心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为 （分式表示）
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。请在答题卡各自题目的答题区域内作答。
16.（本小题满分13分）
已知，，f(x)=
⑴ 求f(x)的最小正周期和单调增区间；
⑵ 如果三角形ABC中，满足f(A)=，求角A的值．
17.（本小题满分13分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

18.（本小题满分13分）
数列
（I）求数列的通项公式；
（II）若的最大值。

19.（本小题满分13分）
过椭圆内一点M(1，1)的弦AB
(1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程。
20.（本小题满分14分）
已知函数
（1）求f(x)在[0，1]上的极值；
（2）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程在[0，2]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7份，请考生任选2题作答，满分14分.
如果多做，则按所做的前两题计分.
选修4系列（本小题满分14分）
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．
(2) （本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程，曲线C的参数方程为为参数），求曲线C截直线l所得的弦长
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知，且、、是正数，求证：.

永春一中 培元中学
季延中学 石狮联中
2011届高三年四校联考数学（理）科试卷参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、D 2、B 3、C 4、C 5、B 6、B 7、C 8、B 9、D 10、B
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、６０ 12、6 13、105 14、 15、
三、解答题：（16-19题各13分，20-21题各14分，共80分）
16、解：⑴f(x)= sinxcosx+= +=sin(2x+)+…4分
最小正周期为π，…………………5分
单调增区间[kπ-,kπ+]（k∈Z）……………………7分
⑵由得sin(2A+)=0, <2A+<,……………10分
∴2A+=π或2π∴A=或…………………… 13分

17．（本小题满分13分）解：17.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），
M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）. 4分
（Ⅰ）,
因为，
所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则 ……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……13分
18. 解：（I）由的两根，
注意到

…………6分
（II）

的最大值是7 ………………13分

19. 解：(1）设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为。
得
得………3分

………7分
另法（直接求k）：设A(x1,y1)，B(x2,y2)。

（2）设弦AB的中点为P(x, y)

……13分

20. 解：（I），
令（舍去）
单调递增；
当单调递减. ……………………………3分
上的极大值 ……………………………4分
（II）由 得
……………………5分
设，
，
依题意知上恒成立，
，
，………………………………6分
上单增，要使不等式成立，
当且仅当 ………………………8分
（III）由
令，
当上递增；
当上递减 ……………………10分
而，
恰有两个不同实根等价于

………14分

21、（Ⅰ）由条件得矩阵，
它的特征值为和，对应的特征向量为及；……………………3分
（Ⅱ），椭圆在的作用下的新曲线的方程为．…………7分
(2)解：由可化为直角坐标方程 （1） ……2分
参数方程为为参数）可化为直角坐标方程 (2) ……4分
联立（1）（2）得两曲线的交点为 ……………………6分
所求的弦长. ………………7分

（3）证明：左边= ………………2分
…………6分
. ………………7分

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