高三数学第二轮强化训练套题(四)理-新人教A版.doc

高三理科数学第二轮强化训练套题（四）
班别______学号_______姓名______________得分_______
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数等于（ ）.
A. B. C. D.
2.集合,,若,则的值为( )
A. B. C.-1 D.
3.对于非零向量“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.已知为等差数列，，，是等差数列的前项和，则使得达到最大值的是（ ）
A.21 B.20 C.19 D.18
6.曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数则（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
8.若变量满足，则点表示区域的面积为（ ）
A． B. C. D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
开始
S=0,T=0,n=0
T>S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
（一）必做题（９～１２题）
9.执行右边的程序框图，输出的T= .
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
（第10题图）

10.已知某个几何体的三视图如上图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 .
11.已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为 .
12.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 .
（二）选做题（13 ～15题，考生只能从中选做两题；三道题都做的，只记前两题的分）
13.（不等式选讲选做题）不等式的解集为 ；
14.（坐标系与参数方程选做题） 若直线与圆（为参数）没有公共点，则实数的取值范围是 ；
（第15题图）
15.（几何证明选讲选做题）如图，过点做圆的切线切于点，作割线交圆于两点，其中，则 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知向量与，其中
（1）若，求和的值；
（2）若，求的值域。
17.（本小题满分12分）
四个大小相同的小球分别标有数字把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两个小球，它们的标号分别为、，记随机变量.
（1）求随机变量时的概率；
（2）求随机变量的概率分布列及数学期望。
P
A
B
C
D
F
E
·
（第18题图）
18.（本小题满分14分）
已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,
PA⊥平面ABCD.
(1)求证:PF⊥FD；
(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.

19.（本小题满分14分）
已知圆方程为：.
（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；

20.（本小题满分14分）
已知，，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；

21.（本小题满分14分）
在平面上有一系列的点, 对于正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且
（1）求证：数列是等差数列；

2012届高三理科数学压轴题
参考答案
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
C
B
B
C
D
1.解析： ,故选C.
2.解析：∵,,∴∴,故选C.
3.解析:反之不成立，故选A.
4.解析：依题意得，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,即的图象。故选C
5.解析：由题设求得：，
， 所以当时最大。故选B
6．解析：，，，故切点坐标为。切线方程为，故选B
7.解析：当，，

== 故选C
a
b
O
2
3
1
-1
3
A
a+b-3=0
a-b+1=0
8．解析：，。
代入的关系式得：
易得阴影面积, 故选D
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9. 30 10. 11. 12.
13. 14. 15.
9.解析:按照程序框图依次执行为

则输出
10. 解析:由图可知：
11.解析：每组袋数：，由题这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列
12.解析：设 分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=；
13.解析:原不等式等价于不等式组① 或 ②
或③不等式组①无解,由②得,由③得,
综上得,所以原不等式的解集为.
14.解析：问题等价于圆与直线无公共点，则圆心到直线的距离解得
15.解析：，

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
16.解：（1） …………………………………2分
求得……………………………………………………3分
又………………………………………5分
， …………………………………………6分
（注：本问也可以结合或利用来求解）
（2）
……………………………………………8分
又，，…………………10分
，即函数的值域为…………………………………12分
17.解 （1）说明摸出的两个小球都是号的，这种摸法只有一种；……………1分
而从四个小球中摸出两个小球，共有种摸法。……………………3分
……………………………………………………5分
（注：没有写出文字说明而答案正确的，只扣1分，给4分；）
（2）随机变量的所有取值为2、3、4. 由（1）知；………………6分
由题意知；.………………………………10分
（注：和每求得一个各得2分）
的分布列是：

2
3
4

…………11分
的数学期望.………………12分
18.解：（1）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,
所以∠AFB=∠DFC=45°.
P
A
B
C
D
F
E
·
H
G
（第18题图）
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. ………3分
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.… 4分
所以FD⊥平面PAF. …………… 5分
故PF⊥FD. ………………………6分
(2)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,
且AH=AD. …………………………8分
再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. ………………10分
所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, …………………………12分
从而点G满足AG=PA. 即点的位置为上靠近的四等分点处…………14分
[说明:①用向量法求解的,参照上述评分标准给分；②第(2)小题也可以延长DF与AB交于R,然后找EG//PR进行处理.]
19. 解：（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意 …………………………………1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即
设圆心到此直线的距离为，则，得 …………………3分
∴，解得，………………………………………………………5分
故所求直线方程为 ………………………………………………6分
综上所述，所求直线方程为或 ……………………………7分
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是……9分
∵，∴ 即， …………………11分
又∵，∴
∴点的轨迹方程是， ………………………………………13分
轨迹是中心在原点，焦点在轴，长轴为、短轴为的椭圆，除去短轴端点。…14分
20. 解：（1）当.………1分
……………………3分
∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，…………4分
（2）切线的斜率为， ∴ 切线方程为.……………6分
所求封闭图形面积为
. …………8分
（3）， ………………………9分
令. ………………………………………………………10分
列表如下：
x
(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)

－
0
+
0
－

↘
极小
↗
极大
↘
由表可知，. ………………12分
设，
∴上是增函数，………………………………13分
∴，即，
∴不存在实数，使极大值为3. …………………14分
21.解：（1）证明：的半径为，的半径为，………1分
和两圆相外切，则 …………………………2分
即 ………………3分
整理，得 ………………5分
又所以 ………………………………6分
即故数列是等差数列 ………………………………7分
（2）由（1）得即， ………………8分
又 所以 ………………………9分
法（一）：

………………11分
……13分
………………………………14分
法（二）：
………………10分
…………………………………………11分

……………12分
……………………………13分
…………………………………………14分

理科数学压轴题（四）参考答案
2012届高三理科数学压轴题
参考答案
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
C
B
B
C
D
1.解析： ,故选C.
2.解析：∵,,∴∴,故选C.
3.解析:反之不成立，故选A.
4.解析：依题意得，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,即的图象。故选C
5.解析：由题设求得：，
， 所以当时最大。故选B
6．解析：，，，故切点坐标为。切线方程为，故选B
7.解析：当，，

== 故选C
a
b
O
2
3
1
-1
3
A
a+b-3=0
a-b+1=0
8．解析：，。
代入的关系式得：
易得阴影面积, 故选D
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9. 30 10. 11. 12.
13. 14. 15.
9.解析:按照程序框图依次执行为

则输出
10. 解析:由图可知：
11.解析：每组袋数：，由题这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列
12.解析：设 分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=；
13.解析:原不等式等价于不等式组① 或 ②
或③不等式组①无解,由②得,由③得,
综上得,所以原不等式的解集为.
14.解析：问题等价于圆与直线无公共点，则圆心到直线的距离解得
15.解析：，

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
16.解：（1） …………………………………2分
求得……………………………………………………3分
又………………………………………5分
， …………………………………………6分
（注：本问也可以结合或利用来求解）
（2）
……………………………………………8分
又，，…………………10分
，即函数的值域为…………………………………12分
17.解 （1）说明摸出的两个小球都是号的，这种摸法只有一种；……………1分
而从四个小球中摸出两个小球，共有种摸法。……………………3分
……………………………………………………5分
（注：没有写出文字说明而答案正确的，只扣1分，给4分；）
（2）随机变量的所有取值为2、3、4. 由（1）知；………………6分
由题意知；.………………………………10分
（注：和每求得一个各得2分）
的分布列是：

2
3
4

…………11分
的数学期望.………………12分
18.解：（1）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,
所以∠AFB=∠DFC=45°.
P
A
B
C
D
F
E
·
H
G
（第18题图）
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. ………3分
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.… 4分
所以FD⊥平面PAF. …………… 5分
故PF⊥FD. ………………………6分
(2)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,
且AH=AD. …………………………8分
再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. ………………10分
所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, …………………………12分
从而点G满足AG=PA. 即点的位置为上靠近的四等分点处…………14分
[说明:①用向量法求解的,参照上述评分标准给分；②第(2)小题也可以延长DF与AB交于R,然后找EG//PR进行处理.]
19. 解：（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意 …………………………………1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即
设圆心到此直线的距离为，则，得 …………………3分
∴，解得，………………………………………………………5分
故所求直线方程为 ………………………………………………6分
综上所述，所求直线方程为或 ……………………………7分
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是……9分
∵，∴ 即， …………………11分
又∵，∴
∴点的轨迹方程是， ………………………………………13分
轨迹是中心在原点，焦点在轴，长轴为、短轴为的椭圆，除去短轴端点。…14分
20. 解：（1）当.………1分
……………………3分
∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，…………4分
（2）切线的斜率为， ∴ 切线方程为.……………6分
所求封闭图形面积为
. …………8分
（3）， ………………………9分
令. ………………………………………………………10分
列表如下：
x
(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)

－
0
+
0
－

↘
极小
↗
极大
↘
由表可知，. ………………12分
设，
∴上是增函数，………………………………13分
∴，即，
∴不存在实数，使极大值为3. …………………14分
21.解：（1）证明：的半径为，的半径为，………1分
和两圆相外切，则 …………………………2分
即 ………………3分
整理，得 ………………5分
又所以 ………………………………6分
即故数列是等差数列 ………………………………7分
（2）由（1）得即， ………………8分
又 所以 ………………………9分
法（一）：

………………11分
……13分
………………………………14分
法（二）：
………………10分
…………………………………………11分

……………12分
……………………………13分
…………………………………………14分

17