论场论三度与两大定理在物理的应用.doc

论场论三度与两大定理在物理的应用
张 晗
30901068
信计0901
时间与空间是物理最基本的物理量：我们也为了了解物理量随时间变化而做多次实验，定义了很多关系，比如速度等于位移随时间变化率, 加速度等于速度随时间变化率,v等于能量随时间变化率等, 因为时间是纯量 所以处理起来还算比较简易。我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是就有了梯度，散度与旋度等数学运算。
首先，我们可以先了解一下梯度。
梯度在教材上的定义是，如果f在点a所有的偏导数都存在，称向量

为f在点a的梯度（gradient），记为或。
如果f在点a可导，根据全导数的定义，

当u是单位向量时，方向导数有着明显的几何意义，如果记θ是向量u和梯度的夹角，则

当u与同方向时，θ=0，所以在f在点a的全部方向导数中，沿着的单位向量的方向导数最大。
在中，梯度经常写为

在中，梯度写为

在物理中，力做功将能量储存成位能(或者以向量内积 F．dr 表示)因此反过来可知,, 因此定义Ｆ＝Fxi + Fyj +Fzk = -▽U 其中▽U= du/dxi +dU/dyj + du/dzk 称为位能Ｕ的梯度。以重力场为例，水平方向能量都一样，因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度，位能会增加，因此作用力向下，由于力是负的梯度，位能随高度增加，梯度是正的，因此作用力就朝下。
若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大，比如较陡的山，在等高线的垂直方向上高度的变化率最大，也就是最陡。我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！
在矢量场中作一些曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点相应的矢量方向一致，线的疏密程度表示该点矢量场的大小。这样的曲线簇称为矢量场的力线或流线。用这些力线可以形象地想象，描写和分析矢量场的分布和性质，如流体力学里流线，电磁学中的电力线，磁力线等等。为了说明所包围的闭曲面内每点的性质，常需要引入矢量场散度的概念。
接下来，我们可以谈谈散度和旋度。
散度的定义与所选取的坐标系无关，但在不同的坐标系中有不同的表达式。
而旋度与散度一样，都是矢量在空间变化的一种描述。
散度在教材上的定义是，设是向量场，其中D是的开集，如果对于每个k=1,...,n,偏导数在D上存在，则称数量场div f：D→R,

为向量场f在D上的散度（divergence）。
散度对任意维度都有定义。
而旋度在教材上的定义是，设是向量场，其中D是的开集，如果P,Q,R全部的偏导数存在,则称数量场rot f：D→R³,

为向量场f在D上的旋度（rotation）。
当f是数量场的梯度，即

则f的Jacobi矩阵

所以

上面的式中，右边为的Laplacian,通常缩写为，即梯度的散度是的Laplacian.在符号上，

如果，称为调和函数，上面式子说，调和函数的梯度的散度是零。
我们称散度为零的向量场为无源场。
如果的全部二阶偏导数存在并且是连续的，根据教材中曾学过的定理3.3.1,则上面矩阵是对称的,所以rot f=0，即

对于任何有连续二阶偏导数的数量场均成立。
我们称旋度处处为零的向量场为无旋场.一个无旋无源场称为调和场。调和场与调和函数有着密切的联系。
在物理中，电场是单位电荷所受的力，电位就是单位电荷的电能。据我们所知，电场源自于电荷，而磁场源自于电流，电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线，或者说电场是径向力，而在电流的方向上没有磁场，磁场存在于与电流方向垂直的平面方向。人们虚构出来的电场或磁场，都是通过观察力的效应。电与电磁作用力在连心线方向的是电场，与连心线方向垂直的便是磁场。
散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场，如开放电力线；而旋度则适用于类似磁场这类封闭磁力线的场。例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致。
在一些文献资料中，散度的物理意义经常会通过对通量的表现来体现。例如，我们可以对于场内取定的一点M，任意做一点包围点M的封闭曲面Σ，Σ所围的区域位于场内。C类向量场F(x,y,z)视为不可压缩流体的稳定速度场并且散度Σ取外侧时，定向曲面积分

表示单位时间通过Σ流向Ω外部的流体的总质量，称为向量F通过Σ流向外侧的通量。数值

其中，V是Ω的体积，上面公式是流速场F中单位时间从单位体积内流出Ω的平均流量，称为流速场F在Ω内的平均源强。由Gauss定理，我们可得

其中点，令Ω向M收缩，由上式得Σ

上述极限就称作流速场在F点处的源头强度。上式使我们将向量场F的散度看成是不可压缩流体的稳定流场F在M处的源头强度。当divF(M)>0,则对于电M的邻近的封闭曲面Σ，有

称向量场在点M处有正源，否则称为负源。而|divF(M)|则称为源的强度。
而旋度常与环流量结合起来讨论，比如，可以在场内取定一定M，同时取定一单位向量,过点M作一张以为法向量的定向平面Π，在Π上任取一条包围点M的光滑闭曲线Γ，记Σ为定向平面Π被Γ所围的部分，Γ的走向与定向平面Σ的侧符合右手法则

其中σ为Σ的面积，点，上式右端的为换流量对面积的变化率，称为为Γ上沿方向的平均环量密度。
令Σ向点M收缩，由上式得
(1)
(1)式左端的极限称为在点M处沿方向的环量密度。
(1)式表明：在点M点处的旋度上的投影。通过改变的方向，可以使环流量密度达到最大，显然这一最大值当与方向相同时取得。这就是说，当时点M的平面与该点的旋度垂直时，在该平面内绕M点的密度达到最大。所以，是向量场取得最大环量密度的方向，在该方向上，最大环量密度为.

总结以上信息，我们可以得出，已知矢量，梯度表示为：，只有标量才能计算梯度，所以只能对矢量的模取梯度，而梯度是一矢量，其大小为某点的方向导数的最大值，其方向为取得最大方向导数的方向；旋度表示为：，旋度是一矢量，其大小为最大环量面密度，其方向为取得最大环量面密度的面元的法向方向；散度表示为：，散度是一标量，表示通过某点处单位体积的通量，即通量体密度。任何梯度的旋度为零，任何旋度的散度为零。但是不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况。
既然是在讨论场论，那么场论中最重要的两个公式当然不能落下。
其中一个便是我们经常耳闻的Gauss公式

另一个为斯托克斯公式

在众多科学研究中，我们可以得知稳恒磁场的两个积分方程：
一个是将高斯定理运用到磁场中，可得
(2)
安培环路定理为
(3)
由高斯积分变换定理

于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零。将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：
▽.B = 0 （4）
再由斯托克斯积分变换定理

由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：
▽×B = m0J （5）
（4）和（5）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质。方程（4）表示稳恒电流的磁场是“无散场”。虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立。（5）则表示在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成。
梯度，散度，旋度和两大重要定理在物理应用中有着非常广的应用，特别是在电磁场这一块，是十分重要的数学理论。

*参考文献
数学分析(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)
豆丁网文档