小升初奥数专题-第六讲图形面积.docx

第六讲 图形面积
简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

　　上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4＝ 16（格）；右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5＝ 15（格）.

　　上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2＝ 10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.

　　上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3＝ 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是
　　（4+7）×4÷2＝22（格）.
　　上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.
6.1 三角形的面积
　　用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：
　　三角形面积= 底×高÷2.
　　这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.
　　例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

　　解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.
　　三角形ABD面积=4×高÷2.
　　三角形 ADC面积=2×高÷2.
　　因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.
　　例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.

　　解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.
　　三角形 ABC面积= 8× 4÷2＝16.
　　我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.

　　三角形 DFE面积= 16÷4＝4.
　　例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.

　　解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
　　而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
　　FE×BE÷2，
　　它恰好是长方形ABEF面积的一半.
　　同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.
　　因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是
　　20×12÷2＝120.
　　通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
　　例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？

　　解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.
　　对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此
　　面积=4×10÷2＝ 20.
　　对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此
　　面积=7×8÷2＝28.
　　四边形 ABCD面积= 20＋ 28＝ 48.
　　这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
　　例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.

　　解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
　　三角形 ABE面积=3×6×2＝ 9.
　　三角形 BCF面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.
　　三角形 DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.
　　我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
　　三角形 BEF面积=6×6-9-12-3＝12.
　　例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.

　　解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.
　　把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2＝7.
　　因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5.
　　因为 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是
　　3.5×4＝14.
　　长方形 ABCD面积=7×（8＋2）=70.
　　四边形 ABMD面积=70-7- 14＝ 49.
6.2 有关正方形的问题
　　先从等腰直角三角形讲起.
　　一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
　　两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.
　　一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是
　　直角边长的平方÷2.
　　当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是

　　斜边的平方÷4
　　例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

　　解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.
　　这一个图形的面积是
　　32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.
　　例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？

　　解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.
　　三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.
　　三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.
　　三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2＝4.
　　三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.
　　阴影部分的总面积是 4＋1＝5.
　　例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.

　　解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.
　　因为
　　A是45°，角D是90°，角E是
　　180°-45°-90°＝ 45°，
　　所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.
　　四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即
　　7×7÷2-3×3÷2＝20.
　　这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.
　　现在我们转向正方形的问题.
　　例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？

　　解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
　　长-宽 =15-11＝4
　　是“三”正方形的边长.
　　宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此
　　中间小正方形边长=11-4×2＝3.
　　中间小正方形面积=3×3＝ 9.
　　如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.
　　例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.

　　解：剩下的长方形土地，我们已知道
　　长-宽=1（米）.
　　还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？
　　如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
　　我们把长和宽拼在一起，如右图.

　　从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.

　　可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.
　　现在，我们就可以算出大正方形面积：
　　15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.
　　64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的
　　长+宽=8（米）.
　　因此
　　长=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.
　　宽=8-4.5＝3.5（米）.
　　那么划出的长方形面积是
　　4.5×1＝4. 5（平方米）.
　　例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.

　　解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此
　　四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2
　　三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此
　　三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.
　　四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有
　　阴影部分面积=三角形ECG面积
　　=小正方形面积的一半
　　= 6×6÷2＝18.
　　十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.
6.3 其他的面积
　　这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.
　　例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

　　解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.
　　周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是
　　4×4-3-5-1.5＝6.5.
　　例6与本题在解题思路上是完全类同的.
　　例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.

　　解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此
　　三角形AEF面积＝（三角形 AEB面积）-（三角形 AFB面积）
　　＝8×6÷2-4×8÷2
　　＝ 8.
　　　这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.
　　例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？

　　解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.
　　可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此
　　草地面积=（16-2）×（10-2）＝ 112.
　　例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.

　　解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.
　　阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于
　　梯形 ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.
　　上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.
　　例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求这个图形的面积.
　　解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.

　　三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.
　　三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12.
　　这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.
　　因为 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.
　　因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.
　　2×三角形DEC面积
　　= 2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积）.
　　三角形ABC面积
　　= （三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.
　　四边形BCEG面积
　　=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）
　　=（2×12＋18）÷5
　　＝8.4.
　　所求图形面积=12＋ 18- 8.4＝21.6.
　　例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.
　　解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.
　　（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）
　　=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和
　　=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）
　　=3.

　　例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？
解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此
　　（三角形 ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）
　　＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.
　　三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有
　　阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.
6.4 几种常见模型
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上)，
则

图⑴ 图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
①或者②
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：
①
②；
③的对应份数为．
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

①；
②．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形中，，，相交于同一点，那么．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.