中考必做的36道数学压轴题.pdf

中考必做的36 道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例 1(2013 北京，23,7 分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线222mxmxy（0m）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在12x这一段位于直线l的上方，并且在32x这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式解：（1）当 x 0 时，y 2.A（0，2）抛物线对称轴为x212mm，B（1，0）（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为A（2，2）则直线 l 经过 A、B.没直线的解析式为ykxb则22,0.kbkb解得2,2.kb直线的解析式为y 2x 2（3）抛物线对称轴为x 1抛物体在 2 x3 这一段与在 1x 0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x 1这一段位于直线 l 的上方，在1 x0 这一段位于直线l 的下方抛物线与直线l 的交点横坐标为1；当x 1 时，y 2x(1)2 4则抛物线过点（1，4）当x 1时，m2m 24，m2抛物线解析为y2x2 4x2.连接（2013 江苏南京，26，9 分）已知二次函数y a（xm）2a（xm）（a、m 为常数，且 a0）.（1）求证：不论a 与 m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C.与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 D.当 ABC 的面积等于1 时，求 a 的值；当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，求m 的值.【答案】（1）证明：ya（xm）2a（xm）ax2（2am a）xam2am.因为当 a0 时，（2ama）24a（am2am）a20.所以，方程ax2（2ama）x am2am0 有两个不相等的实数根.所以，不论a 与 m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点.3 分（2）解：ya（xm）2a（x m）a（x212m）24a，所以，点 C 的坐标为（212m，4a）.当 y0 时，a（xm）2a（xm）0.解得 x1m，x2m1.所以 AB1.当 ABC 的面积等于1 时，21 14a1.所以21 1（4a）1，或21 14a1.所以 a 8，或 a8.当 x 0 时，yam2am.所以点 D 的坐标为（0，am2am）.当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，21 14a21 1amam221 1（4a）=21 1（am2am），或21 14a=21 1（am2am）.所以 m21，或 m221，或 m221.9 分变式:（2012 北京，23，7 分）已知二次函数23(1)2(2)2ytxtx在0 x和2x时的函数值相等。（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数6ykx的图象与二次函数的图象都经过点(3)Am，求m和 k 的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点 BC，（点B在点 C 的左侧），将二次函数的图象在点 BC，间的部分（含点B和点 C）向左平移(0)n n个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线6ykx向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n的取值范围。【答案】（1）方法一：二次函数23(1)2(2)2ytxtx在0 x和2x时的函数值相等334(1)4(2)22tt.32t.这个二次函数的解析式是21322yxx方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为1x则2(2)12(1)tt32t.这个二次函数的解析式是21322yxx.（2）二次函数的图象过(3,)Am 点.213(3)(3)622m.又一次函数6ykx的图象经过点A366k4k（3）令213022yxx解得：11x23x由题意知，点B、C 间的部分图象的解析式为1(3)(1)2yxx，（13x）.则向左平移后得到图象G 的解析式为：1(3)(1)2yxnxn，（13nxn）.此时平移后的一次函数的解析式为46yxn.若平移后的直线46yxn 与平移后的抛物线1(3)(1)2yxn xn相切.则146(3)(1)2xnxnxn有两个相等的实数根。即一元二次方程22119(3)0222xnxn有两个相等的实数的根。判别式=22119(3)4()()0222nn解得：0n与0n矛盾.平移后的直线46yxn 与平移后的抛物线1(3)(1)2yxn xn不相切.结合图象可知，如果平移后的直线与图象G 有公共点，则两个临界交点为(1,0)n和(3,0)n.则 4(1)60nn，解得：23n4(3)60nn，解得：6n263n第 2 题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（2012 湖南湘潭，26，10 分）如图，抛物线)0(2232axaxy的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为0,4.（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标.【答案】解：（1）将 B（4，0）代入)0(2232axaxy中，得：21a抛物线的解析式为：)0(223212axxy（2）当0223212xx时，解得41x，12xA 点坐标为（1，0），则 OA=1 当 x=0 时，2223212xxyC 点坐标为（0,2），则 OC=2 在 RtAOC 与 RtCOB 中，21OBOCOCOA RtAOCRt COB ACO=CBO ACB=ACO+OCB=CBO+OCB=90那么 ABC 为直角三角形所以 ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为（1.5，0）（3）连接 OM.设 M 点坐标为（x，223212xx）则OBCOBMMBCSSSSOCM=4221221)22321(4212xxx=4)2(2x当 x=2 时，MBC 的面积有最大值为4，M 的坐标为（2，3）变式（2011安徽芜湖 24）面直角坐标系中，?ABOC如图放置，点A、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转 90，得到?ABOC（1）若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）?ABOC 和?ABOC 重叠部分 OCD 的周长；（3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M 在何处时 AMA 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题）23（2012 河南，23，11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线23yaxbx交于 A、B 两点，点A 在x轴上，点B 的纵坐标为3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A、B 重合），过点 P 作x轴的垂线交直线AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、b 及sinACP的值；（2）设点 P 的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由第 23 题图BCDxOPAy【答案】（1）由1102x，得2,x(2,0)A由1132x，得4,x(4,3)B23yaxbx经过,A B两点，22(-2)-2-3=04+4-3=3abab11,22ab设直线 AB 与y轴交于点E，则(0,1)EPCy轴，ACPAEO.22 5sinsin55OAACPAEOAE（2）由可知抛物线的解析式为211322yxx2111(,3),(,1)222P mmmC mm2211111(3)42222PCmmmmm在Rt PCD中，sinPDPCACP212 5(4)25mm259 5(1).55m505当1m时，PD有最大值9 55存在满足条件的m值，53229m或【提示】分别过点 D、B 作 DFPC，BGPC，垂足分别为F、G在tRPDF中，211(28).55DFPDmm又4,BGm21(28)2545PCDPBCmmSDFmSBGm当29510PCDPBCSmS时，解得52m；当21059PCDPBCSmS时，解得329m变式一 27（2011江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数y=x2 bx3 的图像经过点P（2,5）（1）求 b的值，并写出当1x3 时 y 的取值范围；（2）设点 P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当 m=4 时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当 m 取不小于5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解：（1）把点 P代入二次函数解析式得5=（2）22b3，解得 b=2.当 1x3 时 y 的取值范围为4y0.（2）m=4 时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长当 m 取不小于5 的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m22m3、m24、m22m 3，由于，m22m3m2 4m2 2m3，（m 2）280，当 m 不小于 5 时成立，即y1 y2y3成立所以当 m 取不小于5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（2013 重庆 B 卷，25，10 分）如图，已知抛物线cbxxy2的图像与x 轴的一个交点为 B（5，0），另一个交点为A，且与 y 轴交于点C(0，5).（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在x 轴下方图像上的一动点，过点M 作 MN/y 轴交直线BC 于点 N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图像上任意一点，以 BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为1S，ABN 的面积为2S，且216SS，求点 P 的坐标.【答案】解：（1）设直线BC 的解析式为nmxy，将 B（5，0），C（0，5）代入有：505nnm解得：51nm所以直线 BC 的解析式为5xy再将 B（5，0），C（0，5）代入抛物线cbxxy2有：50525ccb解 得：56cb所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为：y x O C A B 562xxy（2）设 M 的坐标为（x，562xx），则 N 的坐标为（x，5x），MN=)56()5(2xxx=xx52当25x时，MN 有最大值为425（3）当0562xxy时，解得11x，52x故 A（1,0），B（5,0），所以 AB=4 由（2）可知，N 的坐标为（25，25）5254212S则30621SS，那么15CBPS在 y 上取点 Q(-1，0)，可得15CBQS故 QPBC则直线 QP 的解析式为1xy当1562xxx时，解得21x，32x1P2Py x O C A B N M Q 所以 P 点坐标为（2，3），（3，4），第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（例题）（2012 四川资阳，25，9 分）抛物线214yxxm的顶点在直线3yx上，过点F(2,2)的直线交该抛物线于点M、N 两点（点 M 在点 N 的左边），MAx轴于点 A，NBx轴于点 B（1）(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）(3 分)设点 N 的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NFNB；（3）(3 分)若射线 NM 交x轴于点 P，且 PA PB1009，求点 M 的坐标答案：解（1）2211(2)(1)44yxxmxm顶点坐标为(2,1m)顶点在直线3yx上，2+3=1m，得m=2（2）点 N 在抛物线上，点 N 的纵坐标为2124aa即点 N(a,2124aa)过点 F 作 FCNB 于点 C，在 RtFCN 中，FC=a+2，NC=NB-CB=214aa,2NF22NCFC2221()(2)4aaa=2221()(4)44aaaa而2NB=221(2)4aa2221()(4)44aaaa2NF2NB，NF=NB（3）连结 AF、BF（第 25 题图）由 NF=NB，得 NFB=NBF，由（2）的结论知，MF=MA，MAF=MFA,MAx轴，NBx轴，MA NB,AMF+BNF=180MAF 和NFB 的内角总和为360,2MAF+2 NBF=180，MAF+NBF=90,MAB+NBA=180，FBA+FAB=90 又 FAB+MAF=90 FBA=MAF=MFA又 FPA=BPF，PFA PBF，PFPBPAPF，2PFPA PB=1009过点 F 作 FGx轴于点 G,在 RtPFG 中，PG=22PFFG=83，PO=PG+GO=143，P(143,0)设直线 PF：ykxb，把点 F（2,2）、点 P(143,0)代入ykxb解得k=34，b=72，直线PF：3742yx解方程21372442xxx，得x=3 或x=2（不合题意，舍去）当x=3 时，y=54，M（3,54）变式一25已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点为 C（1，1）且过原点 O 过抛物线上一点 P（x，y）向直线y=54作垂线，垂足为M，连 FM（如图）（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x=1 上有一点F(1，34)，求以 PM为底边的等腰三角形 PFM的 P点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN 恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点为 C（1，1）且过原点 O，可得-2ba=1，244acba=1，c=0，a=-1，b=2，c=0（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x，故设 P点的坐标为（m，-m2+2m），则 M点的坐标（m，54），PFM 是以 PM为底边的等腰三角形PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m-34）2=（m-1）2+（34-54）2-m2+2m-34=12或-m2+2m-34=-12，当-m2+2m-34=12时，即-4m2+8m-5=0=64-80=-16 0 此式无解当-m2+2m-34=-12时，即 m2-2m=-14m=1+32或 m=1-32、当 m=1+32时，P点的坐标为（1+32，14），M点的坐标为（1+32，54）、当 m=1-32时，P点的坐标为（1-32，14），M点的坐标为（1-32，54），经过计算可知 PF=PM，MPF 为正三角形，P点坐标为：（1+32，14）或（1-32，14）（3）当 t=34时，即 N与 F重合时 PM=PN 恒成立证明：过 P作 PH与直线 x=1 的垂线，垂足为 H，在 RtPNH 中，PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，PM2=（54-y）2=y2-52y+2516，P是抛物线上的点，y=-x2+2x；PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2-52y+2516，1-y+t2-2ty+y2=y2-52y+2516，移项，合并同类项得：-32y+2ty+916-t2=0，y（2t-32）+（916-t2）=0对任意 y 恒成立2t-32=0且916-t2=0，t=34，故 t=34时，PM=PN 恒成立存在这样的点变式二（2012 山东潍坊，24，11 分）如图12，已知抛物线与坐标轴分别交于A（2，0）、B（2，0）、C（0，1）三点，过坐标原点O 的直线ykx与抛物线交于M、N 两点 分别过点 C、D（0，2）作平行于x 轴的直线l1、l2（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON 为直径的圆与直线l1相切；（3）求线段MN 的长（用k 表示），并证明M、N 两点到直线l2的距离之和等于线段MN 的长【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为2yaxbxc，图 12 xyA B C D O M N l1l2由0420421abcabcc，解得1401abc所以2114yx（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、N 在抛物线上，所以211114yx，222114yx，所以2224(1)xy；又2ON=2222xy=2224(1)yy=22(2)y，所以 ON=22y，又因为y21，所以 ON=22y设 ON 的中点为E，分别过点N、E 向直线 l1作垂线，垂足为P、F，则 EF=2OCNP=222y，所以 ON=2EF，即 ON 的中点到直线l1的距离等于ON 长度的一半，所以以 ON 为直径的圆与直线l1相切（3）过点 M 作 MHNP 交 NP 于点 H，则222MNMHNH=221()xx+221()yy，又 y1=kx1，y2=kx2，所以221()yy=2221()kxx，所以22221(1)()MNkxx；又因为点M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，所以2114kxx，即2440 xkx，所以 x=2416162kk=2k22 1k，所以221()xx=216(1)k，所以22216(1)MNk，所以 MN=24(1)k延长 NP 交 l2于点 Q，过点 M 作 MSl2于点 S，则 MS+NQ=122yy=22121111444xx=22121()24xx，又2212xx=222244(1)168kkk，所以 MS+NQ=2422k=24(1)k=MN即 M、N 两点到直线l2的距离之和等于线段MN 的长第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例题（2012 浙江宁波，26，12 分）如图，二次函数2yaxbxc的图象交x 轴于 A（1，0），B(2，0)，交 y 轴于 C（0，2），过 A，C 画直线(1)求二次函数的解析式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，且PA=PC，求 OP 的长；(3)点 M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H若 M 在 y 轴右侧，且 CHM AOC（点 C 与点 A对应），求点 M 的坐标；若M 的半径为455，求点 M 的坐标【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为：(1)(2)ya xx将 x=0，y=2 代入，得 2=a(0+1)(02)解得 a=1抛物线的解析式为(1)(2)yxx，即22yxx(2)设 OP=x，则PC=PA=x+1在 RtPOC 中，由勾股定理，得2222(1)xx第 24 题xyA B C D O M N l1l2E P Q F S H 解得32x，即32OP(3)CHM AOC，MCH=CAO情形 1：如图，当H 在点 C 下方时，MCH=CAO，CMx 轴，2My，222xx，解得 x=0（舍去），或 x=1，M(1，2)情形 2：如图，当H 在点 C 上方时 M CH=CAO，由(2)：得，M 为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM 的解析式为y=kx 2把 P（32，0）的坐标代入，得3202k，解得43k，423yx由24223xxx，解得 x=0（舍去），或 x73，此时109y，7 10(,)39M在 x 轴上取一点D，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE4 55 COA=DEA=90，OAC=EAD，ADE AOC，ADDEACOC，45525AD，解得 AD=2D(1，0)或 D（3，0）过点 D 作 DM AC，交抛物线于M则直线 DM 的解析式为：22yx或26yx当2x 6=x2x2 时，方程无实数解当2x+2x2x2 时，解得12117117,22xx点 M 的坐标为M117(,37)2或 M117(,37)2变式一25如图，抛物线y=14x2+x+3与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC相交于点E，与 x 轴相交于点 F（1）求直线 BC的解析式；（2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r 为半径作 P 当点 P运动到点 D时，若 P与直线 BC相交，求 r 的取值范围；若 r=455，是否存在点P 使 P 与直线 BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线y=ax2+bx+x（a0）的顶点坐标（2ba，244acba），对称轴 x=2ba变式二22（2012 广东省，20，9 分）如图，抛物线213=-922yxx与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，连接 BC、AC.(1)求 AB 和 OC 的长；(2)点 E 从点 A 出发，沿x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合)，过点 E 作直线 l 平行于BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m，ADE 的面积为S，求 S关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求 CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积(结果保留).【答案】(1)当 y=0 时，213-9=022xx，解得 x1=3，x2=6.AB=|x1x2|=|36|=9.当 x=0 时，y=9.OC=9.(2)由(1)得 A(3,0)，B(6,0)，C(0,9)，直线 BC 的解析式为y=32x9，直线 AC 的解析式为y=3x9.AE 的长为 m，E(m3,0).又直线l 平行于直线BC，直线l 的解析式为y=32x3(-3)2m.由3933-(-3)22yxyxm得9=3-mxym，点 D(93m,m).ADE 的面积为：S=12 AE|D 纵|=12(m3)|m|=213-22mm.(0m9)(3)CDE 面积为：SACESADE=192m(213-22mm)=21+32mm=219-(-3)+22m，当 m=3 时，CDE 面积的最大值为92.此时，点 E(0,0).如图，作OFBC 于 F，OB=6，OC=9，OF=OB OCBC=226969=181313.以点 E 为圆心，与BC 相切的圆的面积为：218324(13)=1313.第 6 题分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质例题（2011 贵州遵义，27，14 分）已知抛物线)0(32abxaxy经过 A(3，0),B(4，1)两点，且与y 轴交于点C。（1）求抛物线)0(32abxaxy的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1）,连接 AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与A、C 重合）经过A、E、O 三点的圆交直线AB 于点 F，当 OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标。【答案】（1）2(3,0)(4,1)y=ax+bx+30=9a+3b3116431a=2b=12(0,3)ABabC、代入中解得解析式为 令时，点坐标为（2）若 PAB=90 ，分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为E、F。图（1）易得 APE BAF,且 BAF 为等腰直角三角形，APE 为等腰直角三角形。设 PE=a，则 P 点的坐标为（a，a3）代入解析式3-a=215a322a解得 a=0，或 a=3（与 A 重合舍去）P（0,3）若 PBA=90，如下图，直线与 x 轴交与点 D,分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为E、F。由图可得 PED、BAD 为等腰直角三角形，设 PE=a，则 DE=a，AB=2,所以 AD=2，则 P 点坐标为（5a，a）代入解析式，215(5)(5)322aaa解得，a=1，或 a=6（与 B 重合）是所以 P 点坐标（1,6）综上所述 P（0,3）或 P（1,6）（3）由题意得，CAO=OAF=45利用同弧所对的圆周角相等，OEF=OAF=45EFO=EAO=45 EOF 为等腰直角三角形，SEOF=212OE。当 OE 最小时，面积最小。即E 为 AC 中点（3 3,)2 2变式一（2011 山东枣庄，25，10 分）如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线2yx向左平移1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线2()yxhk.所得抛物线与x轴交于AB、两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出hk、的值；（2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使AOMABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）2()yxhk的顶点坐标为（，），1hk，=-4.（2）由（1）得2(1)4yx.当0y时，2(1)40 x 解之，得1231xx，(3 0)1 0AB，(，).又当0 x时，22(1)4(01)43yx，C 点坐标为03，-.4分又抛物线顶点坐标14D，作抛物线的对称轴1x交x轴于点 E，DFy轴于点F易知在RtAED中，2222420AD；在RtAOC中，2223318AC；在RtCFD中，222112CD；222ACCDADx y ACD 是直角三角形（3）存在作OMBC 交 AC 于 M，点即为所求点由（2）知，AOC为等腰直角三角形，45BAC，1832AC由AOMABC，得AOAMABAC即33 3 29 24443 2AMAM，.过M点作MGAB于点G，则29 248192164AGMG，93344OGAOAG.又点 M 在第三象限，所以39-44M（，）.变式二（2011南充市，21，8 分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC,AD=AB=CD=2,C=600,M 是 BC 的中点。（1）求证：MDC 是等边三角形；（2）将 MDC 绕点 M 旋转，当 MD(即 MD)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC)同时与 AD交于一点F 时，点 E,F 和点 A 构成 AEF.试探究 AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值.x y M F E G DCMFEDCBA【答案】（1）证明：过点D 作 DPBC,于点 P，过点 A作 AQ BC于点 Q,C=B=600 CP=BQ=21AB,CP+BQ=AB 又 ADPQ 是矩形，AD=PQ,故 BC=2AD,由已知，点M 是 BC 的中点，BM=CM=AD=AB=CD,即 MDC 中，CM=CD,C=600,故 MDC 是等边三角形.（2）解：AEF的周长存在最小值，理由如下：连接 AM,由（1）平行四边形ABMD 是菱形，MAB,MAD 和 MC D是等边三角形，BMA=BME+AME=600,EMF=AMF+AME=600 BME=AMF）在 BME 与 AMF 中，BM=AM,EBM=FAM=600 BME AMF(ASA)BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB EMF=DMC=600,故 EMF 是等边三角形，EF=MF.MF 的最小值为点M 到 AD 的距离3，即 EF 的最小值是3.AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF,AEF 的周长的最小值为2+3.