2016年陕西省高中数学竞赛试题及参考答案.pdf

20162016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题（4 月 24 日上午 8:3011:00）第一试第一试一、选择题（每小题 6 分，共 48 分给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，是的子集，且中各元素的和为，则满足条件=1,2,310ML，AMA8的子集共有（）AA.个 B.个 C.个 D.个87652、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）303200 xyxyyA.B.C.D.32322 33、设是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是（,a b crrrabrr()()cacbrrrr）A.B.C.D.12122114、从这个数中，任取个不同的数，则这个数构成等差数列的概率为（1,2,20L2033）A.B.C.D.151103193385、是抛物线上关于直线对称的相异两点，则等于（）,A B23yx0 xy|ABA.B.C.D.343 24 26、如图，在棱长为 1 的正四面体中，为的重心，是线段的中点，ABCDGBCDMAG则三棱锥的外接球的表面积为（）MBCDA.B.C.D.3264687、设函数（均为非零整数）.32()f xxaxbxc,a b c若，则的值是（）3()f aa3()f bbcA.B.C.D.1644168、设非负实数满足，则的最小值为,a b c0abbccaabcabbccaACDBGM（）A.B.C.D.2332 2二、填空题（每小题 8 分，共 32 分）9、在数列中，且任意连续三项的和都是，则na4111,9aa15_.2016a10、设均为正整数，且满足，则的最小值是_.,m n424mnm11、设分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若对()()f xg x、R()()2xf xg x+，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.1,2x()(2)0af xgx+a12、设，则函数的最小值为xR()|21|32|43|54|f xxxxx_.第二试第二试一、（本题满分 20 分）设均为非零实数，且满足,x ysincos955tan20cossin55xyxy（1）求的值；（2）在中，若，求的最大值yxABCtanyCxsin22cosAB二、（本题满分 20 分）已知直线，动圆，菱形:34l yx222:(12)O xyrr的一个内角为，顶点在直线 上，顶点在圆上，当变化时，求ABCD060,A Bl,C DOr菱形的面积的取值范围ABCDS三、（本题满分 20 分）如图，圆与圆相交于两点，圆的弦与圆相切，1O2O,P Q1OPA2O圆的弦与圆相切，直线与的外接圆交于另一点求证：2OPB1OPQPABORPQQREDCABOO12图 11ABPOQR1O2O四、（本题满分 30 分）设函数，且的最小值为，1()ln(1),f xxaaRx()f x0（1）求的值；（2）已知数列满足，设ana11a 1()2(N)nnaf an，其中表示不超过的最大整数求 123nnSaaaaL mmnS五、（本题满分 30 分）设为正实数，且满足，对任意整数，证明：,a b c1abc 2n 32nnnnabcbccaab参考答案：参考答案：第一试第一试一、CBAD CBDA二、（9）5；（10）54；（11）；（12）1.17,)6第 8 题提示：法一：法二：第 12 题提示：，根据绝对值的几何意义，1234()23452345f xxxxx当时，最小34x()f x第二试第二试一、（1）依题意有，tan95tan201tan5yxyx9tantan205tan1941tantan205yx（2），tan1C Q4C34AB23sin22cossin(2)2coscos22cos2cos2cos12ABBBBBBB ，2132(cos)22B 当，即时，的最大值为1cos2B 3Bsin22cosAB32二、设直线方程方程为，则直线与间距离为，CD3yxbABCD42b，60ABCoQ442sin603bbBCo原点到直线的距离为，QCD2b22222()42bCDrrb由，得，即BCCD22443brb22324rbb，解得且12rQ232412bb 24b 1b，2443(4)263bbSbQ的取值范围为且S06 3S332S 三、提示:由，得,（1）APQBPQ:AQAPPQPB由，得，即，（2）ARQABP:AQQRAPPBAQAPQRPB由（1）、（2）两式，得，AQAQPQQRPQQR四、（1）1a（2），11ln1nnnaaa，即，ln1xxQln1xx 1ln1xx 当时，2n 1111112nnnaaa 下面用数学归纳法证明：当时，2n 3na 设，在上为单调增函数，3ka 1()ln1f xxxQ(2,3)，易证，114ln31ln333ka 4ln33313ka当时，2n 2na122221nSn L，当时，11S QNn21nSn五、法一：法二：