资源描述
2010年邯郸市高三第一次模拟考试（邯郸一模）
理科数学 2010.3
说明：
1. 本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分。其中第一道大题为选择题。
2. 所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
3. 做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则有
A．M=N B． C． D．
2.已知是两个单位向量，命题：“”是命题：“的夹角等于”成立的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.非充分且非必要条件
3.
A．0 B．2 C．3 D．4
4.设随机变量服从标准正态分布，已知，则=
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
5.点P是直线上的动点，过P作圆C:的切线，则切线长的最小值是
A . B. C. D.2
6.某家电制造集团为尽快完成家电下乡运输任务，提出四种运输方案.据预测，这四种方案均能在规定时间内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量与时间的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是
A w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m B C D
7.设ΔABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且成等差数列，则B是
A．锐角 B．直角 C.钝角 D．锐角,直角,钝角都有可能
8.函数对于任意实数均满足条件，若，则等于
A .2 B. 5 C. -5 D.
9.测体温是预防甲流感的有效措施.某学校医务室欲将23支相同的温度计分发到高三年级10个班中，要求分发到每个班的温度计不少于2支，则不同的分发方法共有
A . 120种 B. 175种 C. 220种 D .820种
10.如图，设、、、为球上四点，若、、两两互相垂直，且，，则直线DO和平面ABC所成的角等于
A． B． C． D．
11.已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，则
A． B． C． D．
12.已知双曲线C:的左、右焦点分别是、，一条渐近线方程为，抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，点在双曲线上.则·＝
A. 4 B. 0 C. -1 D.-2
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的反函数__________ .
14.若、满足条件, 则的最小值为__________.
15.若则的最大值为__________.
16.依次写出数，，，…,,…，法则如下：如果为自然数且未写出过，则写，否则就写，那么 w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知, ，
（Ⅰ）把表示为的函数并写出定义域；
（Ⅱ）求的最值.
18.（本小题满分12分）
某公司客服中心有四部咨询电话，某一时刻每部电话能否被接通是相互独立的.已知每部电话响第一声时被接通的概率是，响第二声时被接通的概率是，响第三声时被接通的概率是，响第四声时被接通的概率是.假设有部电话在响四声内能被接通.
（Ⅰ）求四部电话至少有一部在响四声内能被接通的概率;
(Ⅱ) 求随机变量的分布列及期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，已知，
，,,分别是的中点.
（Ⅰ）求证:直线⊥平面;
（Ⅱ）求二面角的大小. w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
20.（本小题满分12分）
函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
(Ⅱ) 求证：当时，不等式恒成立．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆：的右焦点为, 过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点. ，的最小值为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若直线与椭圆交于，以线段为直径的圆过的右顶点，求证直线过定点.
22.（本小题满分12分）
数列{an}的前n项和为（∈N* ,为常数），且.
（Ⅰ）求p的值；
(Ⅱ) 求证：数列{an}是等差数列;
（III）将数列{an}的前n项随机打乱顺序得到数列{bn}的前n项,
试比较和的大小.
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2010年邯郸市高三第一次模拟考试
理科数学参考答案
审核：王思亮 校对：韩卓艳
1-5 BCBCA 6-10 BADCA 11-12 A B
13． 14.2 15. 2 16 .6
17. 解：（Ⅰ）
所以 …………………………………………………………………………3分
由
所以函数的定义域为………………………………………………………………5分
（Ⅱ）………………………………………………7分
w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
减函数
极小值
增函数
极大值1
减函数
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
， ，
的最大值为1，的最小值-1………………………………10分
18. 解：记事件“每部电话响铃第声后能被接通”为，事件“一部电话能被接通”为，
则P(A)=………4分
（Ⅰ）四部电话在响四声内都未被接通的概率为，…………6分
故四部电话至少有一部在响四声内能被接通的概率为…………8分
（Ⅱ）电话在响前四声内能被接通的数服从于二项分布即
的所有可能取值为
即：，，
；，
，
故的分布列为
0
1
2
3
4
P
w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
…………………………………………………………………10分
……………………………………………………12分
19.解：（Ⅰ）取的中点，连接.
则
w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
由勾股定理可得，.又
…………………………2分
平面
………………………4分
同理，
又相交于点，∴ 直线⊥平面 ……………6分
（Ⅱ）法一：取的中点，连接，
∵ ∴
∵， ∴
∴为二面角的平面角. …………8分
在中，，
在中，，
，
所以，在中，由余弦定理，可得
∴二面角Ｃ—ＰＡ—Ｂ的大小为…………………………12分w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
法二：以F为坐标原点，直线FE、FG、FD分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图示.
则F(0，0，0)，E(，0，0)，G(0，1，0),
易知D(0，0，). B(，1，0)，P(-，-1，1)
Q
A(，-1，0) C(-，1，0)，取AP的中点Q,
则易求得Q(0，-1，)
，
，
，，
∴二面角Ｃ—ＰＡ—Ｂ的平面角的余弦值为
故二面角Ｃ—ＰＡ—Ｂ的大小为…………………………12分
20.（Ⅰ）,………………………………………………………2分
当时，，在上单调递增；………………………………………3分
当时，时，，在上单调递减；…………………………4分
时，，在上单调递增．…………………………… 5分
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，
的单调递减区间为
的单调递增区间为，． ……………………………………………………6分
(Ⅱ)证明：∵,∴.
令，∴，…………………9分
由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增．
当时，，∴，即．
∴，∴在上单调递增，又在处连续，
∴，
∴. ∴恒成立． ……………12分
21解：（Ⅰ）由椭圆的对称性设易知因为
所以，……………………………………………………………………2分
在三角形中，由正弦定理得
=
∵0≤∴，所以……………………4分
∴所求的椭圆的方程为……………………………………………………6分
(Ⅱ) 由得，
因为有两个交点，所以，即①
设交点
则,
因为以线段为直径的圆过的右顶点，
所以…………………………………………………………8分
即，整理得：
，解得或， ……………………10分
当代入①中，可知满足条件，此时直线方程为，
所以，直线恒过定点；……………………………………………………………11分
当，代入①中，可知满足条件，此时
直线恒过定点.
综上所述，直线恒过定点或……w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）当n=1时，即，所以或
当n=2时，
若p=1，则，得a1=a2与已知a1≠a2矛盾，故p≠1.
所以a1=1又a1≠a2
由知，故. w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m ……………………4分
(Ⅱ)证法1：由知
当时
…………………………①
…………w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
………………②
②-①整理得
所以
（，）
所以数列{an}是等差数列。………………………………………………………………8分
由,得
证法2：猜想数列{an}的通项公式为（）
下面用数学归纳法证明。
①当时,结论成立；
②假设当时时，. 结论成立，
那么
解之得，即
综合①②可知数列{an}的通项为，
故数列{an}是以为首项，公差的等差数列
…………………………………………………………………8分
（III）： ，证明如下：
因为 w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m
所以=，,
………………………………12分
用心 爱心 专心
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