双应力平台星形结构的设计与力学性能.pdf

DOI:10.11858/gywlxb.20230614双应力平台星形结构的设计与力学性能徐豪，卢传浩，刘志芳，张天辉，雷建银，李世强（太原理工大学机械与运载工程学院,山西太原030024）摘要：为实现多孔格栅类结构平台应力和能量吸收的可调控，提出了一种双应力平台星形结构的设计方法，设计并制备了 3 种双应力平台星形结构。采用实验、理论分析与数值模拟相结合的方法研究了结构在面内压缩载荷下的力学行为和能量吸收性能。结果表明，双应力平台星形结构的载荷-位移曲线呈现两个明显的平台阶段，结构的几何参数和肋板数对结构变形的稳定性以及平台应力的大小存在显著影响。平台应力的理论预测结果与实验、数值模拟结果吻合较好。通过调整相应的设计参数，能够有效地调控结构在压缩过程中的平台应力和能量吸收能力。为了进一步提高双应力平台星形结构的能量吸收性能，以结构的质量和比吸能为设计变量，进行了多目标优化。采用基于径向基耦合多项式函数代理模型和遗传算法（NSGA-），使结构比吸能最大化的同时质量最小化。与最初设计的结构相比，优化后结构的质量减小了6.0%，比吸能提高了 21.5%。关键词：星形结构；双应力平台；塑性铰；能量吸收；多目标优化中图分类号：O347文献标识码：A材料与结构性能的可调可控是近年来材料结构一体化设计领域的研究热点和难点课题之一。根据实际工程需求，以目标为导向设计的材料与结构，由于其独特的几何构型，不仅具有优异的力学性能，而且具有隔热、隔音、抗震、隐身等功能，可同时满足不同工程的特定需求1。力学超材料作为一种功能结构一体化材料，具有较传统材料更复杂的力学特性和功能特性，在能量吸收23、刚度调节4以及负泊松比5等方面具有明显的优势。Zhang 等6在蝴蝶形花纹结构和星形蜂窝结构的基础上，设计了一种新型仿蝴蝶形蜂窝结构，实现了负泊松比与面内刚度的耦合。Fu 等7设计了一种具有变直径空心圆的负泊松比手性结构，该结构具有较高的能量吸收能力，有望用于防护运动装备。材料和结构的能量吸收能力可通过其在变形时的应力-应变曲线或力-位移曲线来表征。通常认为，应力-应变曲线或力-位移曲线具有长而稳定的平台阶段的材料和结构具有较好的能量吸收能力，如多孔材料、蜂窝材料等可压缩材料和结构，但大多数传统的可压缩材料和结构的平台应力较低，能量吸收能力有限。为此，研究者们通过设计多孔材料和结构的微观构型，实现其变形的多阶段性，在应力-应变曲线上表现为多个平台，使得这些力学超材料呈现出优异的能量吸收特性。Lu 等5将传统的旋转刚性正方形中的正方形替换成内接圆形的星形结构，得到了一种新型负泊松比结构，该新型负泊松比结构的准静态压缩应力-应变曲线上出现了 3 个平台。Wang 等8在星形蜂窝中增加了双箭头蜂窝单元，提出了一种新的蜂窝结构，该结构的应力-应变曲线中出现了 2 个平台，第 2 个平台比第 1 个平台区高 3 倍以上，具有更高的能量吸收能力。Wang 等9引入了拓展的三浦折纸结构，通过阵列和镜像实现了结构的多步变形，并通过改变结构的几何参数实现了对变形顺序和阶段数的调控。An 等10将四边*收稿日期：2023-02-14；修回日期：2023-03-14 基金项目：国家自然科学基金（12272254）；山西省自然科学基金（202203021211170）作者简介：徐豪（1997），男，硕士研究生,主要从事冲击动力学研究.E-mail： 通信作者：刘志芳（1971），女，博士，教授，主要从事冲击动力学研究.E-mail：第37卷第3期高压物理学报Vol.37,No.32023年6月CHINESEJOURNALOFHIGHPRESSUREPHYSICSJun.,2023034106-1形蜂窝与六边形蜂窝相结合，设计了一种新型的双平台蜂窝，与单一蜂窝相比，拥有更优异的能量吸收性能。研究表明，超材料的变形行为与构成的单胞结构的变形相关，如星形结构1113与手性结构14。通过研究单胞结构组成的蜂窝结构，可以准确地预测蜂窝材料整体的力学性能，改变单胞结构的几何参数，可以实现对整体结构的有效调控，以满足实际工程需求。Meng 等15设计了一种在压缩载荷条件下能够形成多个应力平台的力学超材料，通过改变结构单元的几何参数，可以控制其压缩变形过程及能量吸收。Zhang 等6在传统星形结构的基础上，设计了一种可以通过改变几何参数调节泊松比的二维星形结构。Liu 等11通过引入不同的尖端凹角，设计了多种可调泊松比的三维星形蜂窝，该类结构在承受压缩载荷时表现出较高的强度和较强的稳定性。Li 等12设计了一种可通过改变结构角度来对变形路径及泊松比等力学行为进行编程的新型二维力学超材料。综上所述，结构构型的设计可改变材料和结构的力学性能，实现其多阶段变形，提高能量吸收能力。但是已有的研究主要集中于调控结构的变形顺序和泊松比，而对应力平台调控的研究较少。为了实现多孔格栅类结构平台应力和能量吸收的可调控，受 Wang 等8关于新型蜂窝结构双平台的启发，提出一种双应力平台星形结构的设计方法，设计并制备 3 种双应力平台星形结构。通过实验研究 3 种双应力平台星形结构在面内压缩时的力学性能；利用有限元软件 ABAQUS 对 3 种结构进行数值模拟；建立两阶段平台应力的理论分析模型，并与实验和模拟结果进行对比，分析结构几何参数对两阶段平台应力比值的影响规律；采用基于径向基耦合多项式函数代理模型和遗传算法（NSGA-）对 DSPSS3 结构进行多目标参数优化设计，试图得到一种质量较轻、比吸能较高的优化结构。1 双应力平台星形结构设计la1a2ala1 a2.al=1ly=aln+1anx+aln+1h x 0,hh双应力平台星形结构（doublestressplateaustarstructure,DSPSS）的设计思路：在区间 0,1 中任意选取 个实数，.，满足，在坐标轴上画出 条位于第一象限的线段，满足方程（，n=1，2，.，l，为常数）；再将其分别沿 x 轴、y 轴做镜像对称；接着将得到的图形关于坐标原点顺时针旋转 45；最后沿 z 轴拉伸，得到最终的结构 DSPSSl。a1=1/3 a2=2/3 a3=1按照该方法设计 3 种双应力平台星形结构。在 x 轴和 y 轴正半轴各确定 3 个距离相等的点，即，并按照图 1 所示的方式连接，再将其分别沿 x 轴、y 轴镜像对称，将得到的图形关于坐标原点顺时针旋转 45，再沿 z 轴拉伸形成 DSPSS3 双应力平台星形结构。采用同样的方法，通过在 x 轴和 y 轴上确定 4 个或 5 个等距离的点，可设计出 DSPSS4 或 DSPSS5 结构。h0=2hs=1200 kg/m3ys=31.65 MPay=0.026s=0.35采用 VolunexMarsPlus+3D 打印机制备 DSPSS3、DSPSS4 和 DSPSS5 双应力平台星形结构试件，打印精度为 0.4mm，远小于结构尺寸，且打印机沿面内方向铺层打印，可以保证结构具有最优的力学性能。试件的高度，其中 h=30mm，肋板厚度 t=1mm，宽度 b=20mm。试件材料采用聚乳酸PolyMaxTMPLA，其材料性能参数为：密度，杨氏模量 E=1.97GPa，初始屈服强度Ys=39.9MPa，塑性流动应力，初始屈服应变，泊松比。xhzxxztbh0OOOyyy图1DSPSS3 的设计思路Fig.1DesignmethodofDSPSS3第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-2 2 3 种双应力平台星形结构的面内压缩行为采用 GOTECH 压缩试验机对 3 种结构进行面内准静态压缩实验，压缩速度为 2mm/min。图 2 给出了双应力平台星形结构在准静态压缩下的载荷-位移曲线与变形。由图 2(a)可知，结构的变形可分为 5 个阶段：弹性变形阶段、第一平台阶段、第一次密实化阶段、第二平台阶段和最终密实化阶段。图 2(b)给出了各个阶段的变形模式，在第 1 个阶段中，结构的 4 个尖角发生弯曲变形，引起载荷-位移曲线的初始弹性响应。随着压缩的继续，组成 4 个尖角的倾斜肋板发生旋转，垂直肋板保持不变，结构进入第一平台阶段，内层肋板为结构的主要承载结构。当 4 个尖角旋转至水平位置时，第一平台段结束（载荷-位移曲线上的-段）。继续加载，结构的竖向肋板与内部倾斜肋板发生变形，结构中所有的肋板开始变形，结构进入第一次密实化阶段，载荷迅速增大。随着压缩的继续，内部肋板绕各个已经发生塑性变形的部位转动，在载荷-位移曲线上表现为第 2 个平台阶段，当结构内层各肋板相互接触时，第二平台阶段结束（载荷-位移曲线上的-段）。最后，结构完全密实化。3 种结构能量吸收以及平台阶段的载荷随着肋板数的增加而增大，在第二平台阶段，载荷增加幅值更大；肋板数越多，结构进入密实化时对应的位移/应变越小。DSPSS5 的肋板数最多，平台阶段的载荷值最大，最先进入密实化阶段，其原因是压缩载荷作用下结构中大部分内部空间被肋板占据。由图 2(b)可知，3 种结构在压缩变形的第一阶段主要是肋板围绕发生塑性变形的部位旋转，受力基本不变，曲线更为平坦。第二阶段的变形过程中，除肋板围绕发生塑性变形的部位旋转之外，肋板之间的相互作用导致第二阶段的曲线波动较大。结构的几何构型以及肋骨的数目对双应力平台星形结构的变形模式存在显著影响，在设计此类结构时可合理设置肋骨数目，以控制平台应力的大小。432105101520253035Displacement/mmForce/kNDSPSS3DSPSS4DSPSS5(a)403020100.h=3 mm.h=10 mm.h=13 mm.h=20 mm.h=3 mm.h=10 mm.h=13 mm.h=20 mm(b)(c)Stress/MPa图2双应力平台星形结构的(a)载荷-位移曲线、(b)实验变形、(c)模拟变形Fig.2(a)Load-displacementcurves,(b)experimentaldeformation,and(c)simulateddeformationofstarstructurewithdoublestressplateau第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-3 3 双应力平台星形结构有限元模拟利用有限元软件 ABAQUS 对 3 种双应力平台星形结构在面内压缩载荷下的力学响应进行分析，研究不同肋板数对其变形机理和平台载荷的影响。双应力平台星形结构放置在底部固定的刚性底板上，顶部受到刚性板的压缩。双应力平台星形结构与上、下刚板均采用实体单元 C3D8R。上、下刚板设置为刚体，双应力平台星形结构采用各向同性弹塑性模型，材料参数如第 1 节所示。双应力平台星形结构与上下刚板之间、结构内部肋板之间的接触均定义为通用接触，接触面切向采用罚接触，摩擦系数取 0.216，法向采用硬接触，允许接触后分离。EaEtEiEkEaEtEiEkEkEi为平衡计算成本与模拟精度，对 DSPSS3 结构的有限元模型进行网格敏感性分析，如图 3(a)所示。由图 3(a)可知，0.40mm 的网格尺寸可兼顾低成本与高精度，因此在后续的模拟分析中均采用0.40mm 的网格尺寸对结构进行划分。由于采用的实体单元使用了减缩积分，因此必须进行沙漏控制。图 3(b)给出了网格尺寸为 0.40mm 的模型的能量历史曲线，包括伪应变能、外力做功、内能和系统动能。由图 3(b)可知，伪应变能占总能量的比例小于 3%，说明网格划分合理，而外力做功等于系统的内能与动能之和，且动能与内能的比例小于 5%，表明建立的有限元模型符合计算要求。4 双应力平台星形结构的理论分析模型为了揭示双应力平台星形结构的变形机理，对 3 种结构进行了理论分析。由实验结果可知，3 种双应力平台星形结构在压缩实验中均未出现断裂现象，且弹性屈曲仅影响弹性阶段，对平台阶段的影响很小，因此在平台应力阶段只考虑肋板的塑性变形。实验结果表明，材料的弹性应变远小于塑性应变，因此采用理想刚塑性模型进行分析。图 4 给出了面内压缩载荷下 3 种结构的变形过程，其中 Step1 表示结构初始未变形阶段，Step2 表示结构第二阶段的初始变形，红色圆圈表示在变形过程中产生的塑性铰。由图 4 可知，结构中最先发生塑性变形的位置出现塑性铰，与塑性铰相连接的肋板绕其转动，根据外力做功等于塑性耗散能可以得到Fqnhqn=Mqn(q=1,2,3;n=1,2)(1)FqnhqnqnM=ysbt2/4q=1,2,3n=1,2F11h1111式中：为平均压缩力，为结构的压缩位移，为压缩过程中塑性铰转动的角度，为板的塑性极限弯矩。分别对应 DSPSS3、DSPSS4、DSPSS5 结构，对应第一平台阶段和第二平台阶段，如表示 DSPSS3 结构在第一平台阶段的外力，表示 DSPSS3 结构在第一平台阶段的位移，表示 DSPSS3 结构在第一平台阶段塑性铰的转角。hq1h在第一平台阶段，3 种结构的尖角旋转至水平位置，压缩位移与结构的初始构型有关，可表示为 的函数605040302010032105101520253035405101520253035Displacement/mm0.30 mm0.35 mm0.40 mm0.45 mmTime/msForce/kNEnergy/JEkEtEiEi+EkEa(a)(b)图3DSPSS3 的(a)载荷-位移曲线和(b)能量时程曲线Fig.3(a)Load-displacementcurvesand(b)timehistoryofenergyofDSPSS3第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-4hq1=h0hq1=Aq1h(2)Aq1式中：表示 DSPSS3、DSPSS4 和 DSPSS5 结构在第一平台阶段的构型系数，其表达式见附录 A。hq2ht在第二平台阶段，结构中各板接触，压缩位移可表示为 和板厚度 的函数hq2=hq1hq2=Aq2h+Bq2t(3)Aq2Bq2式中：表示 DSPSS3、DSPSS4 与 DSPSS5 结构在第二平台阶段的构型系数，（与双应力平台星形结构中肋板所围成的中心空洞大小相关；与双应力平台星形结构的初始肋板数相关）其表达式见附 A。在第一平台阶段，结构的变形为 4 个尖角绕各自塑性铰发生转动，3 种结构中塑性铰的转角分别为11=162i=1i,21=163i=1i,31=164i=1i(4)式中：、分别为 DSPSS3、DSPSS4 及 DSPSS5 结构各肋板之间的夹角。在第二平台阶段，结构发生塑性变形的肋板更多，各肋板的旋转角达到最大，3 种结构塑性铰的转角分别为12=85i=3i,22=87i=4i,32=814i=5i(5)q,n=Fqn/2bh3 种结构在两个平台段的平台应力表示为：，将式(1)代入可得q,1=Cq(th)2,q,2=Dq1+Eq(t/h)(th)2(6)CqDqEq式中：、为与各结构构型以及材料属性有关的系数，具体表达式见附录 A。h0h0h21h22h32h31h0h11BAC1254311234567891011121314234756(a)DSPSS3(b)DSPSS4(c)DSPSS5Final deformationFinal deformationStep 2Step 1Step 1Step 2Final deformationStep 1Step 2h12 图43 种双应力平台星形结构变形Fig.4Deformationsofthreestar-shapedstructureswithdoublestressplateaus第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-5 5 结果与讨论图 2(c)给出了 3 种双应力平台星形结构在准静态压缩载荷下变形过程的数值模拟结果。对比图 2(b)可知，数值模拟得到的变形模态与实验结果相符。图 5 给出了 3 种双应力平台星形结构在面内压缩载荷下的实验、数值模拟与理论分析的载荷随位移的变化规律。3 种结构的实验与数值模拟得到的载荷-位移曲线吻合较好，两个平台阶段的载荷理论预测值与实验和数值模拟结果相吻合。t/ht/h(t/h)2t/ht/h理论分析表明，第 1 个阶段的平台应力随单调递增，而第 2 个阶段的平台应力与和有关，故通过改变可实现对两个阶段的平台应力的调控。图 6(a)给出了 DSPSS5 两阶段平台应力随的变化规律。由图 6(a)可知，理论预测结果与数值模拟结果吻合较好。t/h双应力平台星形结构在准静态压缩过程中的平台应力仅与有关，根据两阶段平台应力的需求，可以设计结构的构型与几何尺寸。两阶段平台应力相除得到k=q,2q,1=DqCq11+Eq(t/h)(7)t/ht/ht/h图 6(b)给出了 3 种不同双应力平台星形结构的两阶段的平台应力比值 k 随的变化规律。由图 6(b)可知，3 种结构的 k 随的增大而增大，在相同的下，k 随肋板数的增加而增大。原因在于，在第二平台阶段，结构内部的肋板产生了更多的塑性铰，导致其平台应力增大。通过选择不同肋板数的结构和改变结构的几何参数，可以获得不同 k 值的结构。t/ht/ht/h研究表明，表征双应力平台星形结构两阶段平台应力的重要参数为结构几何参数和肋板的数量。增大可提高两阶段的平台应力，且第二阶段平台应力的提高程度大于第一阶段平台应力的提高程度。结构肋板数量增多，发生塑性坍塌时产生的塑性铰更多，引起两阶段平台应力提高。因此，在结构设计的过程中，可以考虑改变结构的这两个参数来实现结构双应力平台的调控，尤其是结构几何参数的增大可以提高第一次密实化后的应力，从而提高第二平台应力17。65432105101520253035Displacement/mmDSPSS3,simulation DSPSS4,simulation DSPSS5,simulation DSPSS3,experimentDSPSS4,experimentDSPSS5,experimentDSPSS3,step 1,theoryDSPSS4,step 1,theoryDSPSS5,step 1,theoryDSPSS3,step 2,theoryDSPSS4,step 2,theoryDSPSS5,step 2,theoryForce/kN图5实验、数值模拟与理论预测结果的对比Fig.5Comparisonofexperimentalresults,numericalsimulationandtheoreticalpredictionDSPSS5,step 1,simulation DSPSS5,step 1,theoryDSPSS5,step 2,simulation DSPSS5,step 1,theory10864203.53.02.52.01.51.00.500.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040t/h0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040t/hStress/MPak(a)(b)DSPSS3DSPSS4DSPSS5t/h图6(a)模拟与理论预测的 DSPSS5 的平台应力，(b)平台应力比值随的变化t/hFig.6(a)SimulationandtheoreticalpredictionofplateaustressofDSPSS5,(b)variationofplateaustressratiowith第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-6 6 双应力平台星形结构的优化设计为提高面内压缩载荷下双应力平台星形结构的能量吸收性能，对双应力平台星形结构进行多目标优化设计。以 DSPSS3 的有限元模型为基础，通过分析仿真结果，确定优化参数和优化目标。以最优拉丁方试验设计方法分别选取样本点和用以检验代理模型精度的检验点，整理各组样本点的仿真结果，构建径向基函数代理模型。然后，利用检验点对模型的精度进行检验，选取精度最高的代理模型用于优化设计。最后，利用快速非支配遗传算法 NSGA-对满足条件的代理模型进行求解，得到 Pareto解集；利用最小距离选择法求得解集的 kneepoint 作为优化设计的综合最优解。图 7 为优化设计流程图。a1h=a(a2a1)h=bmea 0 b 30 mm a+b 30mm令，将 a、b 作为自变量进行优化。将样本点结构与 DSPSS3 结构的质量比值作为无量纲质量，比吸能（specificenergyabsorption，SEA）比值作为无量纲比吸能。以双应力平台星形结构的无量纲质量和无量纲比吸能为优化目标，将结构的有效压缩位移定义为总位移的 70%18。设计变量的取值范围为：，。采用最优拉丁方试验设计方法选取 27 个样本点，对各个样本点进行有限元分析，结果如表 1 所示。Define optimization parameters,constraints and objectivesas the comprehensive optimal solutionNoNoYesEndAdd the test pointas the new samplepointStartFinite element model of DSPSS is establishedOptimal Latin square design method is used to select sample points and conduct simulation and obtain simulation dataOptimal Latin square design method is used to select test points and conduct simulation and obtain simulation dataAccuracy of the model is tested by the test pointsWhether the accuracy requirements are met?Whether it meets the design requirements?Pareto solution set is obtainedKnee point is obtained by using the minimum distance methodRadial basis coupling polynomial function proxy modelis constructed by using sample pointsNSGA-is used to solve the problemYes图7结构多目标优化流程Fig.7Flowchartofstructuremulti-objectiveoptimization第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-7利用高斯径向基函数耦合多项式代理模型（RBF-EXP-P）对表 1 数据进行拟合，将多项式函数与径向基函数进行耦合，得到同时具有线性响应和高阶非线性响应的径向基耦合多项式函数模型。对于拥有 p 个样本点的试验设计方案，其径向基耦合多项式函数模型的一般形式可以表示为f(x)=Ni=1ii(x)+pj=1j(rj)(8)i(x)(rj)ijrj=?xxj?式中：N 为多项式基函数的个数，为径向基函数，和为待定权系数，为待测点 x 与第 i 个样本点之间的欧氏距离。选择高斯函数作为基函数(xxi)=exp(cxxi2)(9)c=0.01式中：c 为大于零的常参数，用以调整模型的光滑度，根据不同的拟合问题可以选取不同的 c 值，代理模型形参取值为19。me通过拟合，分别得到无量纲质量和无量纲比吸能 关于两个设计变量的代理模型。采用最优拉丁方设计方法选取 4 组检验点进行仿真，并对代理模型精度进行验证。表 1 27 组试验设计样本点及其响应值Table 1 Design sample points and their response values of 27 group experimental testsNo.a/mmb/mmme1011.610.520.4920.975.810.770.1431.9426.131.130.9642.9016.450.971.1553.870.970.820.3465.8110.650.931.0777.744.840.880.6589.6814.521.070.76911.618.711.010.881013.552.900.960.711115.4812.581.150.501217.426.771.090.861319.3501.070.891423.233.871.100.401528.061.941.250.42165.252.730.790.54178.1816.361.071.171813.648.181.040.84198.574.290.890.612017.148.571.120.60213.333.330.770.29226.6713.330.990.932312.8612.861.100.632410.0010.001.001.00253.4515.250.941.202618.147.311.110.802720.714.311.110.26第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-8mRBFeRBFmFEAeFEAmee验证结果及相对误差如表 2 所示。其中，和分别为代理模型预测的无量纲质量和无量纲比吸能，和分别为有限元模型的无量纲质量和无量纲比吸能，为质量的相对误差，为比吸能的相对误差。4 种结构的无量纲质量相对误差均小于 1%，无量纲比吸能相对误差均小于 5%。说明代理模型精度较高。e1/e由于在优化设计中两个优化目标的期望存在矛盾，因此将 转化为，结构的多目标优化问题可以表达为如下数学形式min f(x)=m,1/es.t.0 m 10 1/e 10 mm a 30 mm0 mm b 30 mm0 mm a+b 30 mm(10)me式(10)给出了多目标优化问题的约束，采用 NSGA-算法对上述多目标优化问题进行求解，其中种群数量为 40，迭代 1600 步后得到共 252 组解的 Pareto 解集，如图 8 所示。在得到的 Pareto 解集中，无量纲质量的范围为 0.8790.997，无量纲比吸能的倒数 1/的范围为 0.7980.996。利用最小距离选择方法可以得到 Pareto 解集中的综合最优解 kneepoint。最小距离选择法的表达式为minD=vutKj=1fij(x)min(fj(x)max(fj(x)min(fj(x)(11)fij(x)max(fj(x)min(fj(x)式中：D 为 Pareto 解集中的每个可行解距离理想最优解的距离，K为优化目标函数的总个数，表示Pareto 解集中第 i 组可行解的第j个优化目标函数值，和分别表示 Pareto 解集中第j 个优化目标函数的最大值和最小值。当 D 取最小值时，对应的可行解即为此优化问题的综合最优解。如图 8 所示，利用式(11)求解得到 Pareto 解集中的第 52 组解为综合最优解 kneepoint。最优结构的比吸能为 1.719J/g，质量为 7.77g，相应的设计参数 a 和 b 的取值分别为 3.44 和 15.28mm。根据优化结果对应的设计参数建立有限元模型，对最优设计结构进行有限元仿真，仿真得到的最优设计结构的比吸能和质量分别为 1.723J/g 和 7.93g，代理模型结果与仿真结果的相对误差分别为 2.12%和 0.25%，代理模型的拟合精度较好。与优化前的结构相比，优化后的双应力平台星形结构的力学性能有了明显提升，质量减小了 6.0%，比吸能提升了 21.5%。图 9 为优化后综合最优结构与双应力平台星形结构的力-位移曲线对比。从图 9 可以看出，与初始结构相比，优化后的双应力平台星形结构的力-位移曲线的第一阶段平台更长，第二阶段的平台力更大，吸收的能量更多，可以更好地实现双应力平台星形结构在发生小变形时平台应力较小而发生大变形时吸收更多能量的设计目的，并且优化的综合最优结构的两个平台应力的波动幅度更小，结构变形更加稳定。表 2 4 组检验点的参数、响应及相对误差Table 2 Parameters,responses and relative errors of four test pointsNo.a/mmb/mmmRBFeRBFmFEAeFEAm/%e/%14.7819.041.05011.26011.04811.26900.190.7128.576.460.91890.71800.91310.72920.631.50312.8615.141.12640.66011.12620.63000.394.50418.017.111.10840.80111.11410.84060.514.90第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-9 7 结论提出了一种双应力平台星形结构设计方法，按照该方法设计了 3 种双应力平台星形结构 DSPSS3、DSPSS4、DSPSS5，并进行了面内压缩实验，利用有限元软件 ABAQUS 研究了双应力平台星形结构在面内压缩载荷下的力学响应，基于塑性耗散理论建立了两阶段平台的平台应力理论分析模型，理论预测结果与实验结果及模拟结果相吻合；分析了 3 种结构的几何参数对平台应力的影响，由此以结构的几何尺寸为设计参数，质量和比吸能为优化目标，对双应力平台星形结构 DSPSS3 进行多目标优化，得到综合最优结构。主要结论如下。(1)面内压缩载荷作用下，3 种双应力平台星形结构的变形过程可分为弹性变形阶段、第一平台阶段、第一次密实化阶段、第二平台阶段与最终密实化阶段。t/h(2)随着结构参数的增大和肋板数的增加，两阶段平台应力增大，其中第二阶段平台应力增加得更明显。3 种结构中 DSPSS3 的变形最稳定，其载荷-位移曲线最平坦。结构肋板数越多，其内部空隙越小，结构发生密实化时的位移就越小，载荷-位移曲线上的第二平台阶段越短。t/h(3)两阶段平台应力比值随着结构几何参数的增大而增大，随着肋板数的增加而增大。(4)基于径向基耦合多项式函数代理模型和 NSGA-遗传算法对双应力平台星形结构 DSPSS3 进行多目标优化，得到的最优结构的质量减小了 6.0%，比吸能提高了 21.5%。参考文献：YUXL,ZHOUJ,LIANGHY,etal.Mechanicalmetamaterialsassociatedwithstiffness,rigidityandcompressibility:abriefreviewJ.ProgressinMaterialsScience,2018,94:114173.1LVWT,LID,DONGL.Studyonmechanicalpropertiesofahierarchicaloctet-trussstructureJ.CompositeStructures,2020,249(8):112640.2WANGZG,LIZD,SHIC,etal.Mechanicalperformanceofvertex-basedhierarchicalvssquarethin-walledmulti-cellstructureJ.ThinWalledStructures,2019,134:102110.3WEN G L,CHEN G X,LONG K,et al.Stacked-origami mechanical metamaterial with tailored multistage stiffness J.ResearchSquare,2021,212(11):110203.4LUH,WANGXP,CHENTN.Designandquasi-staticresponsesofahierarchicalnegativePoissonsratiostructurewiththreeplateaustagesandthree-stepdeformationJ.CompositeStructures,2022,291(2):115591.5ZHANGZW,TIANRL,ZHANGXL,etal.Anovelbutterfly-shapedauxeticstructurewithnegativePoissonsratioandenhancedstiffnessJ.JournalofMaterialsScience,2021,56(25):118.6m1.000.980.960.940.920.900.88Utopia point0.860.800.850.900.951.001/eKnee point(the 52th solution)图8DSPSS3 结构的 Pareto 解集Fig.8ParetosolutionsetofDSPSS3510152025303540Displacement/mm3.02.52.01.51.00.50Force/kNOptimization resultInitial design图9DSPSS3 最优结构与初始结构的力-位移曲线Fig.9Force-displacementcurvesoftheoptimalstructureandtheinitialstructureofDSPSS3第37卷徐豪等：双应力平台星形结构的设计与力学性能第3期034106-10FUYM,YUTB,WANGX.StudyonaChiralstructurewithtunablePoissonsratioJ.Materials,2021,14(12):3338.7WANGH,LUZX,YANGZY,etal.In-planedynamiccrushingbehaviorsofanovelauxetichoneycombwithtwoplateaustressregionsJ.InternationalJournalofMechanicalSciences,2019,151:746759.8WANG H,HE Y,YU A,et al.Origami-inspired structures with programmable multi-step deformation J.Mechanics ofAdvancedMaterialsandStructures,2022,137(18):2133197.9ANMR,WANGL,LIUHT,etal.In-planecrushingresponseofanovelbidirectionalre-entranthoneycombwithtwoplateaustressregionsJ.Thin-WalledStructures,2022,170:108530.10LIUHT,WANGL.Design3Dimprovedstar-shapedhoneycombwithdifferenttipanglesfrom2Danalyticalstar-shapedmodelJ.CompositeStructures,2022,283(5):115154.11LI X,FAN R,FAN Z J,et al.Programmable mechanical metamaterials based on hierarchical rotating structures J.InternationalJournalofSolidsandStructures,2021,216(1):145155.12WEILL,ZHAOX,YUQ,etal.Anovelstarauxetichoneycombwithenhancedin-planecrushings