双重半伪补MS代数正则滤子的注记_蒋红敬.pdf

双重半伪补 代数是在双重半伪补代数类与 代数类基础上抽象出的新的代数类，以滤子理论作为研究工具，对双重半伪补 代数的正则滤子作进一步的研究。首先，证明了正则滤子格是滤子格的子格。其次，论证了正则滤子格与双重半伪补 代数同余关系的子集是同构的。关键词：半伪补代数；双重半伪补代数；双重半伪补 代数；滤子；正则滤子；同余关系中图分类号：文献标识码：于 年首次提出 代数的概念。代数是一个，型的代数，是在有界分配格上赋予一个一元运算，且满足德摩根定律（代数的部分成果见文献，）。随着序结构理论研究的深入，学者们将两个、甚至更多的代数类结合起来，构造更多复杂的代数类，以满足在其他学科上的应用。伪补是格中补元的延伸，代数与伪补运算结合产生了很多新的代数结构，例如，伪补代数，双重伪补 代数、平衡伪补 代数等，这些代数的引入扩大了格代数的研究范畴。半伪补运算是伪补运算的推广，是比伪补运算更一般的运算。文献，研究了半伪补和双重半伪补格的性质。在文献，的基础上，文献 将双重半伪补代数与代数结合在一起，获得了双重半伪补 代数，同时描述了双重半伪补 代数的运算特征、同余关系以及次直不可约代数。在序结构研究领域，以理想和滤子为载体，伴随着相应理想和滤子同余关系是人们刻画序结构的一种方式。例如，文献 给出了双重半伪补 代数的余核滤子判别定理，根据双重半伪补代数的运算特征及主同余表示理论，获得了余核滤子同余关系的若干等价表达式并证明了双重半伪补 代数余核滤子与其同余关系是同构的。文献 讨论了双重半伪补 代数正则滤子的性质，结合双重半伪补代数的运算属性，构造出具有正则滤子的最大同余关系，并给出了具有正则滤子的最小同余关系与最大同余关系的等式关系。文献 在相应的代数类上引入理想，以核理想为载体刻画相应代数同余结构。由于半伪补运算是伪补运算的推广，半伪补代数理想与滤子的性质不太容易被刻画。本文在文献 的基础上，进一步研究双重半伪补 代数正则滤子的运算性质，刻画双重半伪补 代数的内部结构。预备知识本文讨论的是双重半伪补 代数的滤子和同余关系性质，为此，我们先给出相关定义以及双重半第 卷第期 模糊系统与数学 ，年月 ，收稿日期：基金项目：河南省科技厅软科学研究项目（）；郑州市基础研究及应用基础研究专项（）作者简介：蒋红敬（），女，山东聊城人，讲师，研究方向：随机过程，格论，有序代数；赵秀兰（通讯作者）（），女，河南周口人，副教授，研究方向：格论，有序代数。伪补 代数的某些运算属性。定义设（；，）是一个有界分配格，其上赋予一元运算，和，其中（；）是半伪补代数，（；）是对偶半伪补代数，（；）是 代数，且运算，和满足条件：（），；（），；（），。称（；，）是双重半伪补 代数（简称 代数）。引理设（；，）是 代数，则（）（，）（），（）。（），。（）（，），（，），（，）是布尔代数。（）。（）（）。定义设（；，）是 代数，是的一个格同余关系，若（，）（，），（，），（，）则称是的同余关系符号 表示的全体同余关系构成的集合。引理设（；，）是 代数，则 ，其中，的定义分别为：（，），（，），（，）。双重半伪补代数的余核滤子和正则滤子具有一些特殊的性质，借助于它们便于刻画代数结构。为了第部分的需要，先给出余核滤子的性质以及正则滤子的定义和部分结论。引理设（；，）是 代数，则 是的余核滤子且（）（）（）。定义设（；，）是 代数，是的滤子，若，则称是的正则滤子。全体滤子构成的集合以及全体正则滤子构成的集合，分别记为（），（）。引理设（；，）是 代数，是上任一正则滤子，存在包含正则滤子的最大同余（），（）的定义如下：（，）（）（）（）（）（）（）（）引理.设（；，）是一个 代数，（），则（，（）（）（）。正则滤子的性质定理设（；，）是 代数，若（），任意的，不全相等，则（）是（）的子格。证明令，（），下证，（）。设，则，。又因，（），故，故，。另一方面，若，则，。又因，（），故，从而。因此（）。再令，由文献 知，存在，使得。又由文献 知，。又因，（），故，因此，。模糊系统与数学 年另一方面，设，则由文献 知，存在，使得 ，。由于 ，又因 ，故 ，。假设，则对于任意的，均有。于是只能出现下列三种情况：（）；（）；（），不可比较。若第一种情况出现，即，由引理得（，）（），故（）。再由半伪补代数的运算性质得，（）。若取，则 ，此与 相互矛盾，故这种情况不可能出现。同理，第二种情况也不会出现。若第三种情况出现，则（）且。故（），（），（）。若分别取，则 ，此与，不全相等矛盾。故这种情况也不可能出现，因此。命题即证。定理设（；，）是 代数，则 是的正则滤子。证明设（；，）是 代数，由引理知，则 是的余核滤子，即 ，有，。另一方面，设，由 代数的定义及引理知，任意的，。从而有，。又因，即 ，。又因 是的余核滤子，所以 ，即（，）。若 ，即（，）。又因，则（，），此与 相互矛盾。因此若，则有 。所以 是的正则滤子。设（；，）是一个 代数，（），同余关系（）如引理中所定义，由引理知，（）是具有正则滤子的最大同余关系。正则滤子和其对应的同余关系（）之间满足下列关系式。定理设（；，）是 代数，（），任意的，不全相等，则（），。证明定义映射：（），（），（）（）。先证映射是格同态，即任意的，（），（）（）（），（）（）（）。由定理知，（）。由于，由引理知，映射是保序的，故（）（），（）（），（）（），（）（）。所以（）（）（），（）（）（）。下证（）（）（）。设（，）（）（），由文献 知，（，）（）且（，）（），即（，）（），（，）（）。因此，令（）（）（）（）（）（），则，。从而，所以（，）（），故（）（）（），所以（）（）（）。下证（）（）（）。设（，）（），即（，）（），令（）（）（）（）（）（），（）（），（）（），（）（），则。由文献 中 代数的运算性质得，。第期蒋红敬，赵秀兰：双重半伪补 代数正则滤子的注记又由文献 知，存在，使得.由 代数的运算性质得 ，由于，（），故，。下证（，）（），即证（，）（）。注意到，任意的，且，故 ，。因此，。又因（，），（，），（，）是布尔代数，所以（），（）（）（）。同理可得，（），（）；（），（）。又因，故，于是（）（）（）（）（）（）（）（）（），由（）的定义知，（，）（）。类似的论证方式可得，（，）（）。下证（，）（）。由 代数的运算性质得，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）；同理可得，（）（）（）（）；（）（）（）（）。又因 ，故（）（）（），（）（）（），（）（）（），于是，。又因，从而，所以（）（）（），即（，）（）。综上可知，（）（）（），因此（，）（）（），即（）（）（）。综上所述，映射是格同态。下证映射是单射。设，（）且，则必有（）（）。假设（）（），即（）（），故 （）（），由引理的证明知，此与相互矛盾，故若，（）且，则必有（）（）。所以映射是单射。下证映射是满射。由定理知，则 是的正则滤子。下证 且，有（）。设（，），则（，），（，），（，）。又因（，），（，），（，）是布尔代数，因此 ，。同理，。所以（）（）（）（）（）（），从而 ，即（，）（），因此（）。设（，）（），则（）（）（）（）（）（），由于，模糊系统与数学 年，且 为的滤子。故，又因 ，故（），（），（），从而（），（），（），又因（，），（，），（，）是布尔代数，故 ，又因（），（），（），所以 ，同理可得，因此，。所以，（，）（）（）（），由文献 知，（，）（）。又因，故（，），即（）。所以（），因此映射是满射。命题得证。参考文献：，：，：，北京：科学出版社，：，：，：，（）：赵秀兰双重半伪补 代数的滤子同余关系数学的实践与认识，（）：赵秀兰，史永杰双重半伪补 代数的正则滤子数学的实践与认识，（）：罗从文 代数的核理想应用数学，（）：李明阳，吴妙玲，张懿慧伪补分配格上理想成为同余理想的条件模糊系统与数学，（）：，（，）：，：；第期蒋红敬，赵秀兰：双重半伪补 代数正则滤子的注记