河北省承德市隆化一中高三数学上学期期中试题新人教A版.doc

河北省承德市隆化一中2013届高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共12题计60分）
1．（5分）（2012•黑龙江）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　）

A．
A⊊B
B．
B⊊A
C．
A=B
D．
A∩B=∅

考点：
集合的包含关系判断及应用
专题：
计算题．
分析：
先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
解答：
解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}
∵B={x|﹣1＜x＜1}
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B⊊A
故选B
点评：
本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题

2．（5分）（2012•黑龙江）复数z=的共轭复数是（　　）

A．
2+i
B．
2﹣i
C．
﹣1+i
D．
﹣1﹣i

考点：
复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念
专题：
计算题．
分析：
利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
解答：
解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
点评：
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．

3．（5分）（2005•浙江）设f（x）=，则f[f（）]=（　　）

A．

B．

C．
﹣
D．

考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
分析：
判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．
先求f（），再求f[f（）]，由内而外．
解答：
解：f（）=，
，即f[f（）]=
故选B
点评：
本题考查分段函数的求值问题，属基本题．

4．（5分）已知y=x2+2（a﹣2）+5在（4，+∞）上是增函数，则实数a的范围是（　　）

A．
a≤﹣2
B．
a≥﹣2
C．
a≤﹣6
D．
a≥﹣6

考点：
二次函数的性质．
专题：
计算题．
分析：
先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可．
解答：
解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；
而其对称轴为x=2﹣a，又在（4，+∞）上是增函数
故须2﹣a≤4，
∴a≥﹣2，
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的单调性．二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决定．开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；开口向下的二次函数在对称轴左边递增，右边递．

5．（5分）（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）

A．
3
B．
2
C．
1
D．

考点：
导数的几何意义．
分析：
根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．
解答：
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线的一条切线的斜率为，
∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．
点评：
考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．

6．（5分）函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（　　）

A．
12，﹣15
B．
﹣4，﹣15
C．
12，﹣4
D．
5，﹣15

考点：
函数的值域．
专题：
计算题．
分析：
先对函数f（x）求导，然后令导数为0，求出x的值，分别求出f（x）在拐点及x=0和x=3时的值，通过比较即可得出答案．
解答：
解：∵f′（x）=6x2﹣6x﹣12，令f′（x）=0，得x=﹣1或x=2，
∴f（﹣1）=12，f（2）=﹣15，
∵f（0）=5，f（3）=﹣4，
∴f（x）max=5，f（x）min=﹣15，
故选D．
点评：
本题考查了函数的值域，难度一般，关键是通过求导的方法求函数的最值．

7．（5分）（2006•天津）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
利用导数研究函数的单调性．
专题：
压轴题．
分析：
根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．
解答：
解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，
根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．
故选A．
点评：
本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．

8．（5分）（2012•黑龙江）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：
计算题．
分析：
通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．
解答：
解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
点评：
本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．

9．（5分）已知角α的终边上有一点，则tanα的最小值为（　　）

A．

B．
1
C．

D．
2

考点：
基本不等式；任意角的三角函数的定义．
专题：
计算题．
分析：
先根据任意角的三角函数的定义得：tanα=，注意到两项的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决．
解答：
解：∵tanα=≥2=1，
当且仅当t=时取等号．
则tanα的最小值为1．
故选B．
点评：
本题考查任意角的三角函数的定义、基本不等式、函数的最值，解题时要注意基本不等式的应用．

10．（5分）（2011•福建）（ex+2x）dx等于（　　）

A．
1
B．
e﹣1
C．
e
D．
e2+1

考点：
定积分．
专题：
计算题．
分析：
求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．
解答：
解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+1﹣1=e
故选C．
点评：
本题考查利用微积分基本定理求定积分值．

11．（5分）（文科）下列命题正确的是（　　）

A．
∀x∈R，x2+2x+1=0
B．
∃x∈R，﹣x2≥0

C．
∀x∈N*，log2x＞0
D．
∃x∈R，cosx＜2x﹣x2﹣3

考点：
特称命题；全称命题．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
对于全称命题，要说明其为假，只须举一反例即可，对于特称命题，则须举一例，就可说明其为真．据此对各选项进行分析即可．
解答：
解：当x=1时，x2+2x+1=4≠0，故A错误；
B：当x=0时，﹣x2≥0成立，故B正确；
当x=1时，log2x=0，故C错误；
y=2x﹣x2﹣3的最大值为﹣2，而cosx≥﹣1恒成立，故∃x∈R，cosx＜2x﹣x2﹣3错误，故D错误；
利用排除法可知，正确选项是B．
故选B．
点评：
本题考查的知识点是特称命题、全称命题的真假，其中根据函数的性质，判断命题的真假是解答的关键．

12．（5分）是的（　　）

A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件

C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性及其求法．
分析：
由充要条件的判定方法，可判定：p⇒q与q⇒p的真假，也可以判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
解答：
解：方法一：∵⇒为假命题
⇒为真命题
∴是的必要不充分条件
方法二：⇔∵表示的范围比大，
∴是的必要不充分条件
方法三：∵是的必要不充分条件
根据原命题与逆否命题之间同真同假的关系
∴是的必要不充分条件
故选B．
点评：
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

13．（5分）（2007•福建）已知函数f（x）=sin （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　）

A．
关于点（，0）对称
B．
关于直线x=对称

C．
关于点（，0）对称
D．
关于直线x=对称

考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：
计算题．
分析：
先根据最小正周期的值求出w的值确定函数的解析式，然后令2x+=kπ求出x的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可．
解答：
解：由函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π得ω=2，
由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（k∈z），当k=1时为（，0），
故选A
点评：
本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性．

二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分计20分）
14．（4分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．

考点：
平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由已知可得，=，代入|2|====可求
解答：
解：∵，=1
∴=
∴|2|====
解得
故答案为：3
点评：
本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法

15．（4分）函数f（x）=x﹣2sinx在（0，π）上的单调增区间为
　（，π）　

考点：
利用导数研究函数的单调性．
专题：
计算题．
分析：
对函数f（x）=x﹣2sinx进行求导，然后令导函数大于0在（0，π）上求出x的范围，即可得到答案．
解答：
解：f'（x）=1﹣2cosx＞0 x∈（0，π）
解得：x∈（，π）
故答案为：（，π）
点评：
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．

16．（4分）（2010•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是　　．

考点：
三角函数的最值．
专题：
计算题．
分析：
先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．
解答：
解：y=2cos2x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+
=1+
当=2k，有最小值1﹣
故答案为1﹣
点评：
本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．

17．（4分）已知函数f（x）在x=1处可导，且，则f′（1）=　　．

考点：
极限及其运算．
专题：
计算题．
分析：
变形使之符合导数的定义=f′（1），求出即可．
解答：
解：∵函数f（x）在x=1处可导，且，
则，
∴，
∴．
故答案为．
点评：
充分理解导数的定义式是解题的关键．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（10分）（2013•东至县一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

考点：
正弦定理；余弦定理的应用．
专题：
计算题．
分析：
（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．
解答：
解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，
∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，
∴sinA﹣cosA=1，
整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，
∴A﹣=或A﹣=，
解得：A=或A=π（舍去），
则A=；
（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，
∴bcsinA=bc=，即bc=4①；
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，
整理得：b+c=4②，
联立①②解得：b=c=2．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

19．（11分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

考点：
一元二次不等式的解法；四种命题的真假关系；指数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题；综合题；分类讨论．
分析：
由题意分别求出p为真，q为真时，a的取值范围，根据p或q为真，p且q为假，就是一真一假，求出a的范围即可．
解答：
解：设g（x）=x2+2ax+4，
由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，
所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．
又∵函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，
∴3﹣2a＞1，∴a＜1．
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
（1）若P真q假，则∴1≤a＜2；
（6）若p假q真，则∴a≤﹣2；
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．
点评：
本题考查一元二次不等式的解法，四种命题的真假关系，指数函数的单调性与特殊点，考查计算能力，是基础题．

20．（12分）（2006•江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：
计算题．
分析：
（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
解答：
解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b
由解得，
f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（﹣∞，﹣）
﹣
（﹣，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．
（2），
当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．
解得c＜﹣1或c＞2．
点评：
考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．

21．（12分）（2012•西城区二模）已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．

考点：
三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值．
专题：
计算题；三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式求出的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为，由x的范围求出角的范围，可得f（x）的最大值，可得实数c的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵函数，∴． …（5分）
（Ⅱ）∵…（7分）
= …（8分）
=． …（9分）
因为 ，所以 ，…（10分）
所以当 ，即 时，f（x）取得最大值． …（11分）
所以 ，f（x）≤c等价于 ．
故当 ，f（x）≤c时，c的取值范围是． …（13分）
点评：
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域、值域，属于中档题．

22．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．
（Ⅰ）设bn=．证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

考点：
数列的求和；等差关系的确定．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）由an+1=2an+2n构造可得即数列{bn}为等差数列
（2）由（1）可求=n，从而可得an=n•2n﹣1 利用错位相减求数列{an}的和
解答：
解：由an+1=2an+2n．两边同除以2n得
∴，即bn+1﹣bn=1
∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）得
∴an=n•2n﹣1
Sn=20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1
2Sn=21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n
∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n
=
∴Sn=（n﹣1）•2n+1
点评：
本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握．

23．（12分）（2012•黑龙江）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0，求k的最大值．

考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：
综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．
分析：
（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；
（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；
解答：
解：（I）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，
若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（II）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1
故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①
令g（x）=，则g′（x）=
由（I）知，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2
点评：
本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．

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