2018年黄冈中学自主招生考试数学模拟测试题一答案.docx

2017年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知实数x，y，z适合x+y=6，z2=xy﹣9，则z=（　　）
A．±1 B．0 C．1 D．﹣1
2．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0无实数根，则一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知实数a，b（其中a＞0）满足，b2+b=4，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．8或﹣4 D．8
5．已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
6．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．9 B．12 C．13 D．12或13
8．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S=a+b﹣c，则S的取值范围是（　　）
A．S≤﹣3 B．S＜2 C．S≤2 D．S＜﹣3
9．函数y=2x2+4x﹣5中，当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是（　　）
A．﹣3≤y≤1 B．﹣7≤y≤1 C．﹣7≤y≤11 D．﹣7≤y＜11
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式值为　 　．
12．定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=　 　．
13．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=　 　．
14．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=　 　．
15．关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1=0只有一个实数根，则a的取值范围是　 　．
16．已知二次函数f（x）=x2﹣2x﹣n2﹣n的图象与x轴的交点为（an，0），（bn，0），则式子++…++++…+=　 　．
17．若二次函数y=x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y=的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是　 　．
18．函数y=ax+6（其中a，b是整数）的图象与三条抛物线y=x2+3，y=x2+6x+7，y=x2+4x+5分别有2、l、0个交点，则（a，b）=　 　．
　三．解答题（共5小题，合计58分。）
19．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根
（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．（12分）

20．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．（10分）

21．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．（10分）

23．已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．（12分）

24．已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）图象的顶点G在直线AB上，其中
A（﹣，0）、B（0，3），对称轴与x轴交于点E．（14分）
（1）求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式；
（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；
（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜x≤时，抛物线y随x增大而增大？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

2017年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．已知实数x，y，z适合x+y=6，z2=xy﹣9，则z=（　　）
A．±1 B．0 C．1 D．﹣1
【分析】题目中已知x+y=6及xy=z2+9，容易得知x，y为根的二次方程t2﹣6t+z2+9=0，再根据根的判别式即可求解．
【解答】解：∵实数x、y、z满足x+y=6，z2=xy﹣9即xy=z2+9，
∴以x，y为根的二次方程为t2﹣6t+z2+9=0，
其中△=36﹣4（z2+9）=﹣4z2≥0，
所以z=0．
故选B．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式的运用，难度适中，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

2．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0无实数根，则一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据判别式的意义得到m≠0且△=（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象经过第一、三象限，且与y轴的交点在x轴下方．
【解答】解：根据题意得m≠0且△=（﹣2）2﹣4m＜0，
解得m＞1，
∵m﹣1＞0，﹣m＜0，
∴一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象经过第一、三、四象限．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．

3．已知实数a，b（其中a＞0）满足，b2+b=4，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据a+=4解关于的一元二次方程即可得出a，再根据b2+b=4求出b，从而得出的值即可．
【解答】解：∵a+=4，b2+b=4，
∴解关于、b的一元二次方程可得出=，b=，
∵a＞0，
∴=，b=，
∴a=，
∴=+，
即=+或=+，
∴=或=；
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，无理方程以及代数式求值、用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解此题的关键．

4．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．8或﹣4 D．8
【分析】根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．
【解答】解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，
∴a2+b2=25，
又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，
∴（a+b）2﹣2ab=25，①
∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，
∴a+b=m﹣1，②
ab=m+4，③
由①②③，解得
m=﹣4，或m=8；
当m=﹣4时，ab=0，
∴a=0或b=0，（不合题意）
∴m=8；
故选D．
【点评】本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．

5．已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】设a﹣b=x，ab=t，再将转化成a﹣b，ab的形式，从而求出a﹣b，ab的值，再确定出ab的最大值．
【解答】解：设a﹣b=x，ab=t，=
∴，
△=b2﹣4ac=8﹣8t≥0，
∴t≤1
仅当时，a﹣b=2，ab=1成立，
故选A．
【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程以及根的判别式，是基础知识要熟练掌握．

　6．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．
【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则△＞0，
∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，
解得﹣＜a＜，
∵x1+x2=﹣，x1x2=9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．
故选D．

方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x=1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜﹣（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x=1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
故选D．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．

7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．9 B．12 C．13 D．12或13
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12=0得第三边的边长为3或4．
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为4，
∴这个三角形的周长是3+6+4=13．
故选C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

8．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S=a+b﹣c，则S的取值范围是（　　）
A．S≤﹣3 B．S＜2 C．S≤2 D．S＜﹣3
【分析】将A、B两点的坐标代入得出关于a、b、c的方程组，将a看做常数解次方程组得，将其代入得S=a+b﹣c=2a﹣2，结合二次函数的图象与性质知a＜0、c=2a+1≤0，据此得出a的范围，继而可得S的范围，即可得出答案．
【解答】解：由题意，得：，
解得：，
则S=a+b﹣c=a+（3a﹣1）﹣（2a+1）=2a﹣2，
由抛物线过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限知a＜0，
∴c=2a+1≤0，
解得a≤﹣，
∴S=2a﹣2≤﹣3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图形与性质是解题的关键．

9．函数y=2x2+4x﹣5中，当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是（　　）
A．﹣3≤y≤1 B．﹣7≤y≤1 C．﹣7≤y≤11 D．﹣7≤y＜11
【分析】根据a＞0，抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可得答案．
【解答】解：y=2x2+4x﹣5的对称轴是x=﹣1，
当x=﹣1时，y最小=﹣7，
当x=﹣3时，y=2×（﹣3）2+4×（﹣3）﹣5=1，
当x=2时，y=2×22+2×4﹣5=11，
当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是﹣7≤y＜11．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用了函数的增减性：a＞0，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大．

10．如图是二次函数y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【分析】①正确．根据抛物线与x轴有两个交点即可判定．
②错误．根据对称轴x=﹣1即可判定．
③错误．根据x=﹣1时，y＞0即可判定．
④正确．由b=2a，a＜0，即可判定5a＜2a由此即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确．
∵对称轴x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴2a﹣b=0，故②错误，
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故③错误，
∵b=2a，a＜O，
∴5a＜2a，即5a＜b，故④正确，
故选B．

【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系、解题的关键是熟练掌握基本知识，读懂图象信息，充分利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．

二．填空题（共8小题）
11．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式值为　3　．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，
∴m+n=﹣2，mn=1，
∴===3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．

12．定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=　　．
【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算x1*x2的值则可．
【解答】解：在x2+x﹣1=0中，
a=1，b=1，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=5＞0，
所以x1=，x2=或x1=，x2=，
∴x1*x2=*=，
故答案为．
【点评】本题考查了运用公式法解一元二次方程，注意定义运算规则里的两种情况．

13．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=　1　．
【分析】首先利用完全平方公式变形得出+（b+1）2=0，利用非负数的性质得出a=1，b=﹣1，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵+b2+2b+1=0，
∴+（b+1）2=0，
∴a﹣1=0，b+1=0，
∴a=1，b=﹣1，
∴a2+﹣|b|=1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=　13　．
【分析】根据已知条件推知ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，然后通过解方程求得①ab=3，a+b=5；②ab=5，a+b=3；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．
【解答】解：∵a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，
∴ab+（a+b）=8，ab•（a+b）=15，
∴ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，
∴x=3或x=5；
①当ab=3，a+b=5时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=25﹣12=13，即（a﹣b）2=13；
②当ab=5，a+b=3时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣20=﹣11＜0，即（a﹣b）2＜0，不合题意；
综上所述，（a﹣b）2=13；
故答案是：13．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．注意：解答此题需要分类讨论．

15．关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1=0只有一个实数根，则a的取值范围是　　．
【分析】先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2﹣（x2+2x）a+x3﹣1=0，然后利用求根公式解得a=x﹣1或a=x2+x+1；于是有
x=a+1或x2+x+1﹣a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x2+x+1﹣a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．
【解答】解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2﹣（x2+2x）a+x3﹣1=0，
则△=（x2+2x）2﹣4（x3﹣1）=（x2+2）2，
∴a=，即a=x﹣1或a=x2+x+1．
所以有：x=a+1或x2+x+1﹣a=0．
∵关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1=0只有一个实数根，
∴方程x2+x+1﹣a=0没有实数根，即△＜0，
∴1﹣4（1﹣a）＜0，解得a＜．
所以a的取值范围是a＜．
故答案为a＜．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了转化得思想方法在解方程中的应用．

16．已知二次函数f（x）=x2﹣2x﹣n2﹣n的图象与x轴的交点为（an，0），（bn，0），则式子++…++++…+=　﹣　．
【分析】根据题意得到x2﹣2x﹣n2﹣n=0的两根为an，bn，再根据根与系数的关系得到an+bn=2，an•bn=﹣n2﹣n=﹣n（n+1），则a1+b1=2，a1•b1=﹣1×2，a2+b2=2，a2•b2=﹣2×3，…，然后把原式分别通分得到原式=+…+，则原式=++…+=﹣2×（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣2×（1﹣）．
【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣2x﹣n2﹣n的图象与x轴的交点为（an，0），（bn，0），
∴x2﹣2x﹣n2﹣n=0的两根为an，bn，
∴an+bn=2，an•bn=﹣n2﹣n=﹣n（n+1），
∴a1+b1=2，a1•b1=﹣1×2，a2+b2=2，a2•b2=﹣2×3，
∴原式=++++…++
=+…+
=++…+
=﹣2×（1﹣+﹣+…+﹣）
=﹣2×（1﹣）
=﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

17．若二次函数y=x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y=的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是　39或12　．
【分析】先联立两方程，得到关于x的一元二次方程，把此方程分解为两个因式积的形式，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【解答】解：联立方程组 ，
消去y得，x2+（a+17）x+38﹣a=，
即x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0，
当x=1时，x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0，
∴式子x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56中含有因式（x﹣1），
分解因式得（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]=0，（1）
显然x1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56=0，（2）
其判别式△=（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，
因此它的判别式△=（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2﹣224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2=224，即（a+18+k）（a+18﹣k）=224．
显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以 或或，
解得 或 或．
而a是正整数，所以只可能 或．
故答案为：a=39或a=12．
【点评】本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的奇偶性，涉及面较广，难度较大．

18．函数y=ax+6（其中a，b是整数）的图象与三条抛物线y=x2+3，y=x2+6x+7，y=x2+4x+5分别有2、l、0个交点，则（a，b）=　（2，3）　．
【分析】把直线解析式与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系分别列式得到关于a、b的不等式与方程，把方程变形可得4b=﹣（a2﹣12a+8），分别代入不等式组成关于a的不等式组，求解得到a的取值范围，再根据a、b是整数求出a、b的值．
【解答】解：根据题意得，x2+3=ax+b，x2+6x+7=ax+b，x2+4x+5=ax+b，
∵直线与三条抛物线的交点的个数分别是2，1，0，
∴△1=a2﹣4×1×（3﹣b）=a2+4b﹣12＞0①，
△2=（6﹣a）2﹣4×1×（7﹣b）=a2﹣12a+4b+8=0②，
△3=（4﹣a）2﹣4×1×（5﹣b）=a2﹣8a+4b﹣4＜0③，
由②得，4b=﹣（a2﹣12a+8）④，
④分别代入①、③得，，
整理得 ，
解得 ＜a＜3，
∵a是整数，
∴a=2，
∴4b=﹣（22﹣12×2+8）=12，
解得b=3，
故答案为（2，3）．
【点评】本题综合考查了二次函数的性质，根与系数的关系，非负数的性质；根据题意得出三个式子是解题的关键．

三．解答题（共6小题）
19．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根
（1）求（m+5﹣）﹣的值
（2）求+的值．
【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；
（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．
【解答】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m=，n=，
∴m＜n＜0，
原式=•﹣
=﹣
=﹣6﹣2m﹣
=
∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m2+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴+=﹣m﹣n=+=（），
∵m+n=﹣3，mn=1，
∴原式=9﹣2=7．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．

20．（1）如果不等式组的整数解只有1和2，求适合这个不等式组的整数a与b的值．
（2）已知：关于x的方程2x2﹣kx+1=0的一个解与的解相同，求2x2﹣kx+1=0的另一个解．
【分析】（1）首先确定不等式组的解集，先利用含a，b的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a，b的不等式，从而求出a，b的值．
（2）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，即方程2x2﹣kx+1=0的一个解；根据两根之积=即可求得另一根．
【解答】解：（1）
不等式①的解集是x，
不等式②的解集是x＜，
因为不等式组的整数解仅为1，2，
即本不等式组不但有解，而且有2个整数解，根据“公共部分”的原则，
易知0＜≤1，即a取1，2，3，4，5，6六个整数；
并且2＜≤3，即b取11，12，13，14，15五个整数．
（2）由，解得x=0.5，
经检验x=0.5是方程的解．
方程的一个根为0.5，则设它的另一根为x2，则有：
0.5x2=，
解得x2=1．
故2x2﹣kx+1=0的另一个解为1．
【点评】考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定，的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．同时考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识．注意运用根与系数的关系使运算简便．

21．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．
【分析】由a2+b2=（a+b）2﹣2ab，a2+b2=1得到ab=，设a+b=t，则﹣≤t≤，于是得到=a+b+ab=+a+b=（t2﹣1）+t，配成顶点式为y=（t+1）2﹣1，根据二次函数的最值问题和性质得到t=﹣1时，y有最小值为﹣1；t=时，y有最大值，此时y=（+1）2﹣1，由此得到a+b+ab的取值范围．
【解答】解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，a2+b2=1，
∴ab=，
设a+b=t，则﹣≤t≤，
∴y=a+b+ab=+a+b=（t2﹣1）+t=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，
∴t=﹣1时，y有最小值为﹣1，
t=时，y有最大值，此时y=（+1）2﹣1=，
∴﹣1≤y≤，
即a+b+ab的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y=a（x﹣h）2+k，当a＜0时，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了二次函数的性质．

22．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．
【分析】根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；
（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；
∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，
∴△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，
解得，a≥0，且a≠6；
（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，
∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，
解得，a=24＞0；
∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；

（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，
∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，
∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，
∴a=12，9，8，7；
∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．
【点评】本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．

23．已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
【分析】（1）根据题意得出AB、AC的长，再由根与系数的关系得出k的值；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB2+AC2=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
∴AB2+AC2=（AB+AC）2﹣2AB•AC，
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）=25，
解得k=2或﹣5（不合题意舍去）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b2﹣4ac=0，
∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，以及实际应用，注意分论讨论思想．

24．已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）图象的顶点G在直线AB上，其中
A（﹣，0）、B（0，3），对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式；
（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；
（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜x≤时，抛物线y随x增大而增大？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的关系式，利用配方法可找出抛物线顶点G的坐标为（2，a2﹣4a+2），根据一次函数图象上点的坐标即可求出a值，将a值代入二次函数关系式中即可得出结论；
（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+4t+3），根据2S△AEP=S四边形GAEP，即可得出关于t的一元二次方程，解之取大于2的值，将其再代入点P的坐标中即可得出结论；
（3）将y=0代入二次函数关系式中可求出点C、D的坐标，利用二次函数的性质结合＜x≤时抛物线y随x增大而增大，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，找去其内的整数，再根据＜即可确定m的值．
【解答】解（1）设直线AB的关系式为y=kx+b，
将点A（﹣，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴直线AB的关系式为y=2x+3．
∵抛物线y=ax2﹣4ax+a2+2=a（x﹣2）2+a2﹣4a+2，
∴点G（2，a2﹣4a+2）．
∵点G在直线AB上，
∴a2﹣4a+2=4+3=7，
∴a=﹣1，a=5（舍去），
∴二次函数关系式为y=﹣x2+4x+3．

（2）∵AP平分四边形GAEP的面积，
∴2S△AEP=S四边形GAEP．
设点P的坐标为（t，﹣t2+4t+3），
∴2××（2+）（﹣t2+4t+3）=×7×（2+）+×7×（t﹣2），
整理得：2t2﹣6 t﹣3=0，
解得：t1=，t2=（舍去），
∴点P的坐标为（，6+）．

（3）当y=﹣x2+4x+3=0时，x1=2﹣，x2=2+，
∴抛物线与x轴交点C（2﹣，0），D（2+，0）．
∵在x轴上方，抛物线y随x增大而增大，
∴2﹣＜x≤2．
又∵＜x≤，
∴，
解得：4﹣3≤m≤﹣．
∵整数m为整数，
∴m为﹣3，﹣2、﹣1．
又∵＜，
∴m＞﹣，
∴m取﹣2、﹣1．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的三种形式、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点以及三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出关于a的一元二次方程；（2）根据AP平分四边形GAEP的面积，找出关于t的一元二次方程；（3）根据二次函数的性质结合函数图象，找出关于m的一元一次不等式组．

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