2018年衡阳县创新实验班招生数学试卷及答案.docx

2018年衡阳县创新实验班招生数学试卷及答案
满分:120分 时量:100分钟

姓名：___________准考证号：____________________

一、选择题（本大题共6道小题，每题5分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、在平面直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在
.直线上 .抛物线上
.直线上 .双曲线上
2、若，将这四个数按从小到大的顺序排列，则从左数起第个数应为

3、如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为图上三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数为
A. 150° B．120° C．90° D．60°

4、已知是一元二次方程的两个根，则

5、 若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是

6、反比例函数的图象过面积等于的长方形的顶点，为函数图象上任意一点，则的最小值为

二、填空题（本大题共7道小题，每题5分，满分35分）
7、化简所得的结果为__________.

8、 同时抛掷两枚质地均匀的色子，（色子为六个面分别标有1，2，3，4，5，6点的正方体），朝上的两个面的点数之和能被3整除的概率为_________.

9、若抛物线中不管取何值时，它的图象都通过定点，则该定点的坐标为__________.

10、如图， 边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转300到正方形AB’C’D’，则图中阴影部分的面积为_________.

11、已知为正实数，且，则的值为__________.

12、已知不等式的解都能使不等式成立，则的取值范围是_________.
13、有一张矩形纸片，,将纸片折叠使两点重合，那么折痕长是________.

三、解答题（本大题共6道小题，满分55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14、（本小题满分8分）
已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根都在和之间（不包括和），求实数的取值范围.

15、（本小题满分9分）
某企业近期决定购买台机器用于生产一种零件，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产零件数如下表所示。经预算，本次购买机器的总资金数不能超过万元.

甲
乙
价格（万元/台）
4
3
每台日产量（个）
60
40

（1） 按该企业的要求，可以有几种购买方案？
（2） 若该企业购进的台机器的日生产零件数不少于个，为了节约资金，应选择怎样的方案购买机器？

16、（本小题满分8分）
设实数满足，求的值.

17、（本小题满分8分）
如图，四边形是正方形，点是边的中点，点是边上不同于点的点，且，求证：.

18、（本小题满分12分）
已知二次函数（）的图象与轴交于两点，其顶点为.
（1） 若为直角三角形，求的值；
（2） 设二次函数的图象与轴交于两点，与一次函数的图象也交于两点，且其中纵坐标较小的点记为点.
（i）用含有的式子表示点的坐标；
（ii）若为直角三角形，求的值.

19、（本小题满分10分）
若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1，2，…… ，规则是：第1个数是1，其后写1个2，第3个数是1，其后写2个2，……，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k＋1个1之间插入k个2（k＝1，2，3,……）.
试问：（1）第2017个数是1还是2？
（2）前2017个数的和是多少？前2017个数的平方和是多少？
（3）前2017个数两两乘积的和是多少？

2018年数学试卷答案
满分:120分 时量:100分钟

姓名：___________准考证号：____________________

一、选择题（本大题共6道小题，每题5分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、在平面直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在
.直线上 .抛物线上
.直线上 .双曲线上
答案：D
2、若，将这四个数按从小到大的顺序排列，则从左数起第个数应为

答案：C
3、如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为图上三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数为
A. 150° B．120° C．90° D．60°

答案：D
4、已知是一元二次方程的两个根，则

答案：A
6、 若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是

答案：B
6、反比例函数的图象过面积等于的长方形的顶点，为函数图象上任意一点，则的最小值为

答案：B
二、填空题（本大题共7道小题，每题5分，满分35分）
7、化简所得的结果为__________.
答案：-3
9、 同时抛掷两枚质地均匀的色子，（色子为六个面分别标有1，2，3，4，5，6点的正方体），朝上的两个面的点数之和能被3整除的概率为_________.
答案：
9、若抛物线中不管取何值时，它的图象都通过定点，则该定点的坐标为__________.
答案：
10、如图， 边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转300到正方形AB’C’D’，则图中阴影部分的面积为_________.

11、已知为正实数，且，则的值为__________.
答案：
12、 已知不等式的解都能使不等式成立，则的取值范围是_________.
答案：
13、 有一张矩形纸片，,将纸片折叠使两点重合，那么折痕长是________.
答案：

三、解答题（本大题共5道小题，满分55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14、（本小题满分10分）
已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根都在和之间（不包括和），求实数的取值范围.
解：经分析，依题意可得：
8分

15、（本小题满分10分）
某企业近期决定购买台机器用于生产一种零件，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产零件数如下表所示。经预算，本次购买机器的总资金数不能超过万元.

甲
乙
价格（万元/台）
4
3
每台日产量（个）
60
40

（3） 按该企业的要求，可以有几种购买方案？
（4） 若该企业购进的台机器的日生产零件数不少于个，为了节约资金，应选择怎样的方案购买机器？
答：（1）设购买甲机器x台，则乙机器6-x台，
依题意有
故有三种方案，分别为购买0台甲机器，6台乙机器；购买1台甲机器，5台乙机器；购买2台甲机器，4台乙机器； 4分
（2）若用方案1，所需资金万元，生产零件数为，生产数未达要求，故方案1不能选择；
若用方案2，所需资金万元，生产零件数为；
若用方案3，所需资金万元，生产零件数为；
方案2和方案3都达到生产要求，但是方案2在达到生产要求的前提下比方案3节约了一万元，故该企业选择方案2进行购买机器比较好。 9分

16、（本小题满分12分）
设实数满足，求的值.
解：① ②
①+②得
①-②得
把代入上式中可以得到
又
故 8分

17、（本小题满分10分）
如图，四边形是正方形，点是边的中点，点是边上不同于点的点，且，求证：.

证明：延长MN和BC交于点E，过点M作MM’垂直BC交BC于M’点
设正方形边长为，，所以，
，

8分

18、（本小题满分13分）
已知二次函数（）的图象与轴交于两点，其顶点为.
（3） 若为直角三角形，求的值；
（4） 设二次函数的图象与轴交于两点，与一次函数的图象也交于两点，且其中纵坐标较小的点记为点.
（i）用含有的式子表示点的坐标；
（ii）若为直角三角形，求的值.
答：（1）由已知得，
令，
顶点C到x轴的距离为，由对称性及为直角三角形知
，两边平方得. 4分
（2） （i）由图象与轴有两个交点得，，

其顶点坐标为（），
易观察出顶点坐标在一次函数的图象上，
故点的坐标为. 8分
（ii）若为直角三角形，由（1）的结论知
. 12分
19解：（1）把该列数如下分组：
1 第1组
2 1 第2组
2 2 1 第3组
2 2 2 1 第4组
2 2 2 2 1 第5组
-------
2 2 2 2 2 1 第n组 (有n-1个2)
易得，第2017个数为第64组的第1个数，是2；---------3分
（2）前2017个数的和为，---------------------------5分
前2017个数的平方和是 -----------------------7分
（3）记这2017个数为

--------------------------------------10分

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