数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.doc

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题
例1．用两个平行平面去截半径为的球面，两个截面圆的半径为，．两截面间的距离为，求球的表面积．
分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．
解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于，上述大圆的垂直于的直径交于，如图2．
设，则，解得．
．
说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．

例2．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
解：以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
=．
说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．

例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．
解：设球的半径为，正方体的棱长为，它们的体积均为，
则由，，由得．
．
．
，即．
说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．

例4．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
解：如图，正四面体的中心为，的中心为，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．
设，正四面体的一个面的面积为．
依题意得，
又
即．
所以．．
说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．

例5　半径为的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．
分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．

解：∵棱锥底面各边相等，
∴底面是菱形．
∵棱锥侧棱都相等，
∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．
∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．
过该棱锥对角面作截面，设棱长为，则底面对角线，
故截面是等腰直角三角形．
又因为是球的大圆的内接三角形，所以，即．
∴高，体积．
说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．
解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．

例6　在球面上有四个点、、、，如果、、两两互相垂直，且．求这个球的表面积．
分析：，因而求球的表面关键在于求出球的半径．
解：设过、、三点的球的截面半径为，
球心到该圆面的距离为，
则．
由题意知、、、四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥（如图所示）．的外接圆是球的截面圆．

由、、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，
所以也是的外心，所以为等边三角形，
且边长为，是其中心，
从而也是截面圆的圆心．
据球的截面的性质，有垂直于⊙所在平面，
因此、、共线，三棱锥是高为的球内接正三棱锥，从而．由已知得，，所以，可求得，∴．
说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．

例7　已知棱长为3的正四面体，、是棱、上的点，且，．求四面体的内切球半径和外接球半径．
分析：可用何种法求内切球半径，把分成4个小体积(如图)．

解：设四面体内切球半径为，球心，外接球半径，球心，连结、、、，则．
四面体各面的面积为
，，．
各边边长分别为，，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
如图，

是直角三角形，其个心是斜边的中点．
设中心为，连结，过作平面的垂线，必在此垂线上，
连结、．
∵，，
∴，．
在直角梯形中，，，
，，
又∵，∴，
解得：．
综上，四面体的内切球半径为，外接球半径为．
说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．
本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．

例8 球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．
解：∵，，，
∴，是以为斜边的直角三角形．
∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，
又球心到截面的距离为，
∴，得．
∴球的表面积为．
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．由条件可抓住是正四面体，、、、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、、的截面圆半径，所以得．

例9　正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．
解：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．

是正三棱锥的高，即．
是边中点，在上，
的边长为，∴．
∴
可以得到．

由等体积法，
∴
得：，
∴．
∴．
说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是，四个球心构成一个棱长为的正四面体，可以计算正四面体的高为，从而上面球离开桌面的高度为．

例10　求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．

解：如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆．
设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；
，
，
∴，，
，
∴．

例11　正三棱锥的侧棱长为，两侧棱的夹角为，求它的外接球的体积．
分析：求球半径，是解本题的关键．

解：如图，作底面于，则为正的中心．
∵底面，∴、、三点共线．
∵，．
∴．
∴，
设，作于，在中，
∵，
又，∴．
在中，∵，
∴．
说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．

例12 在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的表面积．
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．

解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，，且若、分别为两截面圆的圆心，则，．设球的半径为．
∵，∴
同理，∴
设，则．
在中，；在中，，
∴，解得，
∴，∴
∴．
∴球的表面积为．

几何体与球切、接的问题
1 球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1.1 球与正方体
如图所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.
（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. 
（2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.

（3）
正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径得知直线被球截得的线段就是球的截面圆的直径.
【解析】由题意可知，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径直线被球截得的线段为球的截面圆的直径.
点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.
1.2 球与长方体
例 2自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
【解析】以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
=．
点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．.
例 3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.
【解析】正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径.长方体体对角线长为，故球的表面积为.故选C.
点评：本题考查球与长方体“接”的问题，利用长方体的性质，转化成为求其体对角线.
2 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
2.1正四面体与球的切接问题 
（1） 正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可以利用体积桥证明） 
（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可用正四面体高减去内切球的半径得到）

（3） 正四面体的棱切球，如图6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合； 
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有 
例 4设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
【解析】如图，正四面体的中心为，的中心为，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．
设，正四面体的一个面的面积为．
依题意得， 又
即．
所以．．
2.2其它棱锥与球的切接问题
球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.
例5正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得：，得到．
【解析】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，
的边长为，∴． ∴
可以得到．
由等体积法，
∴ 得：，
∴． ∴．
点评：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．
例6若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.
思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.
【解析】此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是.(如图1)
图2
图1

点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．
例7 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，是球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点到面的距离.由为球的直径点到面的距离即可求得棱锥的体积.
【解析】的外接圆半径为，点到面的距离为球的直径点到面的距离此棱锥的体积为选.
点评：本题难度不大，主要是利用转化与化归思想，将棱锥高应用球的几何性质计算得到．
3 球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例8已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为.
思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中可得，在△EBF中可得.
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立的方程.
【解析】如图：设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中求得BF=，在△EBF中求得EF=.
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，则OA=r+3，OD=r+2，于是OE=，OF=，∵OE+OF=EF
∴平方整理再平方得
解得或（舍掉），故答案为.

点评：本题通过分析球心的位置，根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边角关系，利用方程思想得解．
例9把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
【解析】四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．
点评：本题难度不大，主要是利用转化与化归思想，将棱锥高应用球的几何性质计算得到．
4 球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.
例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）
A．l0cm B．10 cm C．10cm D．30cm

思路分析：根据题意球心O在图中AP上，过O作BP的垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，由各个棱都为20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设，在BPM中，由,得.在PAM中, 由,得.在ABP中得, ，在ONP中得, ,从而，.在OAM中, 由,建立方程即可得解.
【解析】如图所示，由题意球心在AP上，球心为O，过O作BP的
垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为20，所以
AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设，
在BPM中，,所以.在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,所以，所以.在OAM中, ,所以，,解得，或30（舍）,所以，故选B.
点评：本题难度较大，主要是利用转化与化归思想，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立的方程．
5 球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
例11求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．
【解析】如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆．
设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；
， ，
∴，， ，
∴．
点评：本题充分利用轴截面，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径的联系．
例12在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图的截面图，在图中，观察与和棱长间的关系即可．
【解析】如图，球心和在上，过，分别作的垂线交于．
则由得．

， ．
（1）设两球体积之和为，
则
=
=
当时，有最小值．当时，体积之和有最小值．
点评：本题充分利用轴截面，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径的联系，将球的体积之和用或表示，应用二次函数的图象和性质确定其最小值．本题综合性较强，是函数与立体几何相结合的典例.

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