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课堂教学对学生反思能力的培养
陈跃辉
（江苏省南通市第一中学 226001）
当前，我国的教育改革正在向纵深推进.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的数学教育目标.怎样才能实现这一目标呢？中学数学教育将走向何方？
数学最基本特点就是精确的定量化和严密的逻辑推理.数学的思维方式包括计算、证明、归纳、类比、建模等等，数学教育体现在思维方式上就是如何培养和发展学生的思维能力，包括学后反思、练后反思能力.以下是我在课堂教学实践中部分案例及反思.
1. 在纠错中反思，引导学生主动探究发现事物内在的本质规律.
应该把学生在学习、作业、练习中所发生的典型性的“错误”当作教育的“资源”充分地利用，培养学生养成学后反思的习惯.向“错误”学习，教师对于学生不在预设内的想法或错误，不能简单批评、舍弃，而应因势利导，启发学生主动反思，通过对错误的分析，剖析产生错误的原因，自主探究.通过建构互动交流的平台，从学习活动中探寻正确的思路、找出正确的解法，以避免类似错误的发生，进而优化解题过程，提高分析问题和解决问题的能力，实现数学教育教学所赋予的文化功能。
案例1、已知：，求函数的最大值.
错解：

.
错因：弄错了函数的定义域.
正确的解法是：因为，的定义域为，
所以，要使函数有意义
即函数的定义域为.
又

.

案例2、已知：在等比数列中，，求
错解：由题意：
分析错因:忽略了概念中的隐含条件.使用公式时添加了条件：，因此可能产生失根.
正确的解法：由题意：
另解：分类：
（1）当时，；
（2）当时，由题意：
综述：

案例3、已知：的值域.
错解：由
所以，

引导学生分析错因：利用条件消元后，忽视了挖掘题目中的隐含条件.
正确的解法是：由
代入消元，得
由题意：由

案例4、已知：，求函数的最小值.
错解：因为，
所以，
所以，
所以，函数的最小值为.
分析错因：在利用基本不等式求函数的最值时，没有“验相等”，忽略了条件“一正、二定、三相等”中的三个条件缺一不可.
正确的解法是：因为， 所以，
所以，

解法二：令，则，
可证：函数上递减
所以，.

案例5、已知：函数的取值范围.
错解：由题意：

两式相加，得
所以，
所以，的取值范围是：.
分析错因：忽略了条件的充分性和必要性.利用不等式的性质定理将两个同向不等式相加时，字母的取值范围可能扩大（如图）
a
b
a-b=1
a-b=2

a+b=2
a+b=4
a =3
a =3/2
b=0
b=3/2
E
O
A
B

正确的解法是：如图，画出满足约束条件的可行域E.
作出直线，并平行移动至点和处：
如图，当；
当.
所以，的取值范围是：.
解法二：（整体的思想）由题意：
所以，

所以，的取值范围是：.

2. 一题多解，发展学生的发散性思维和创新能力
案例6、（1981年全国高考理科试题）已知双曲线，问是否存在直线，使为直线被双曲线所截弦的中点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
错解：设交点.
由题意：

将③④代入⑤，得
所以，存在直线，使为直线被双曲线所截弦的中点.
错因：所列的条件①②③④是“使为直线被双曲线所截弦的中点”的必要条件，但非充要条件.
正确的解法：（同上）
检验条件的充分性：
消去，
整理得 ，无实根
即直线与双曲线无公共点.
所以，不存在这样的直线，使为直线被双曲线所截弦的中点.
另解：显然，直线不垂直于轴.
可设直线的方程为：
由得：
整理得
设交点.
由题意，得
解②,得
代入①，得 ，无实数解.
所以，不存在这样的直线，使为直线被双曲线所截弦的中点.
解法三、设，直线的倾斜角为，则点A的坐标为.
因为点W为弦的中点，则点B的坐标为.
由题意：
①-②，得

①+②，得
无解
所以，不存在这样的直线，使为直线被双曲线所截弦的中点.

案例7、在中，，求的值.
错解：在中，

所以，
.
错因：没有检验这两组解是否合题意?这样的三个角能否构成三角形？即为何检验？如何检验？
正确解法1：在中，

，
则
不合题意.

所以，
正确解法2：在中，

由及①、②知：

所以，
正确解法3：在中，

由得
又函数内递减
即即

所以，
【归纳】一题多解，可以促使学生进行发现学习、探究学习.这个过程是：形成问题、建立假设、制定研究方案、检验假设、给出结论.在选择比较中，作出解题思路的回顾反思，进而优化解题过程，形成技能技巧.

3. 一题多变，引导学生探索解题规律、总结解题方法
案例8、（1）已知：在等差数列中，求;
（2）已知：在等差数列中，求.
分析：解等差数列的有关问题的常用方法是：基本量法；性质法.
解：（1）设等差数列的公差为，则
两式相减，得
因为 ，所以 .
由③得
（2）设等差数列的公差为，则
①-②,得
因为 ，所以.

归纳：所谓基本量法实质是方程的思想，基本量是等差数列有关问题中联系“已知”与“未知”的枢纽；有时用“整体”的思想也可以构建从“基本量”到达“目标量”的桥梁.

案例9、（苏教版必修5 P.99 例1）用长为4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围成的矩形的面积最大？
变式1：（学生利用类比推理，很容易回答）
（1）周长一定的矩形中， 正方形 的面积最大；
（2）周长一定的三角形中， 正三角形 的面积最大；
（3）周长一定的平面封闭图形中， 圆 的面积最大.
变式2：（1）（苏教版必修5 P.99 例2）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3,深度为3 m.如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
（2）由于场地的限制，规定一边长.这时，当 m时，总造价最低，最低价为 元.
变式3：（1）已知直角三角形的周长为l（定值）.求它的面积的最大值.
（2）已知直角三角形的面积为S（定值）.求它的周长的最值.
方法归纳：建立函数模型，求函数的最值.

4. 多解归一，多题归一，扫清教学与测试的盲点
运用问题导链、变式训练，诱导学生向知识的深度和广度不断探究，这是培养学生发现问题、提出问题、分析和解决问题的一个有效的方法.

案例10. （苏教版必修4 P.122 例5）在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取才能使这个矩形的面积最大？

变式1：在圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取才能使这个矩形的面积最大？
M
Q
N
O
B
A
P
变式2：（苏教版必修4 P.122 复习题18）在一块半径为、圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，,求这个矩形面积的最大值.

测试题：在一块圆心角为60°,半径为的扇形铁皮上截取一矩形,求这个矩形面积的最大值.
(方案甲) （方案乙）
M
N
分析：如图,现有两种截法:
方案甲:使矩形的一边在扇形的一条半径OA上;
方案乙:使矩形的一边与弦AB平行.
因此需要分类讨论
解：（1）若选择方案甲： 如图 ，连结OP.
取∠AOP=θ为自变量，则
在Rt△POQ中，

在Rt△ORS中，，

所以，矩形PQRS的面积：

∴当
（2）若选择方案乙： 如图，分别取PQ、SR的中点为M、N,连结MN、OP.则

在Rt△POM中，

在Rt△ONS中，，

所以，矩形PQRS的面积：

∴当

答：应选择方案甲，能使截得的矩形面积最大，最大面积为
这时，教师可以引导学生探究：
（1） 问题1、上述各题的解法有何联系与区别？能否在某个系统中或在解题方法上实现“多题归一”？
M
Q
N
O
B
A
P
（2） 问题2、将变式2一般化：在一块半径为、圆心角为的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，,求这个矩形面积的最大值.

通过探求 “一般化”问题2的解法，可以解决这一“类”问题：
方案乙方案甲即问题2苏教版必修4 P.122 例5变式1
结束语：不同的教育教学理想和价值观在一定程度上影响着教师对教学方式和方法的选择.教师通过构建互动交流的平台，运用问题导引、变式训练、活动交流、互助合作，使学生在思维的碰撞中相互启发、取长补短、纠错反思，体验了探究的乐趣，拓展了知识的视野，提升了思维的品质.通过一题多解、一题多变、多题归一，实现题量与方法的“多”、“一”转化.在数学活动中，获取了数学基础知识，掌握了数学基本技能，领悟了数学思想方法.使学生从好学到善学、乐学，成为一个会学习的人.

参考文件
[1]李文林.历史与未来[J]. 数学教学.2013(11) 1—4
[2]吴颖康. “未来十年中国数学教育展望”学术研讨会纪要[J]. 数学教学.2013(7):封二—24
[]靳玉乐. 探究教学论[M]. 重庆：西南师范大学出版社.2001.