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图形与几何的教学（二）
—— “方向与位置”教学内容的整体分析
一、课标对“图形与位置”的教学要求：
第一学段
第二学段
1、会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。
2、给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，会用这些词语描绘物体所在的位置。
1、了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例尺进行图上距离与实际距离的换算。
2、能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。
3、会描述简单的路线图。
4、在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应。
从课标要求看，图形与位置的教学主要要求从方向与位置和比例尺两个方面来进行，其实学习比例尺是为学习用经纬法确定位置做准备，教材主要偏重于比例尺的学习，重点不在确定位置上。因此，我们今天主要分析方向与位置的内容。
二、教材对“方向与位置”内容的编排
第一学段
第二学段
册别
图形与位置
册别
图形与位置
一上
·认识上下、前后、左右
四上
·在方格纸上用数对确定位置
·描述简单的路线图
一下

四下

二上

五上

二下
·辨认东、南、西、北四个方向
·了解东南、东北、西南、西北

五下
·根据方向和距离确定位置
·自建参照系确定位置

三上

六上

三下

六下

从梳理教材来看，教材主要主要安排了“认识方向”“描述路线图”“用数对确定位置”和“根据方向和距离确定位置”四个方面的内容。
对于课标和教材的安排，提出三个问题：
1、数学中为什么要学习方向与位置？
2、教材在小学阶段为什么只安排这四个内容？这四个内容有怎样的逻辑关系？
3、方向与位置要教给学生什么？
第一个问题：
·数学中为什么要学习方向与位置？
一、方向与位置建立了二维空间的几何模型。
先来看一段有关“数学中为什么学习方向”的对话：
原杜郎口中学副校长、现在北京师范大学小学数学工作室研究员任景业老师问刘加霞教授：“东南西北是生活概念，为什么数学中要学呢？它的价值是什么？
刘教授很认真地说：“价值可大了，结构化呀？”
刘教授接着说：“假如我们分不出东南西北，走在大街上岂不像没头的苍蝇到处瞎撞？有方向的划分，我们就有了混沌初开的惊喜，才能使得出行和交流方便。将空间划分为东南西北，就是将空间结构化。”
方向给空间以结构，以某一物体为参照，把二维空间分成了四个部分；用数学的方法确定位置则让平面中的每一个物体都有唯一的信息与之对应。可以这样说，方向与位置建立起了二维空间的几何模型，便于人们准确地找到平面中物体的位置，进行交流与应用，进而深入地研究其变化规律。
二、方向与位置渗透了数学的思想方法。
模型思想：结构化、分类，寻找表示空间位置的一般方法。
符号思想：将物体的位置关系用简洁的数字符号表示，便于比较和计算。
总的说来，数学中学习方向与位置就是为了度量物体的位置，研究物体位置之间的关系。 （史宁中，《数学思想概论—自然界中的模型》）
·教材在小学阶段为什么只安排这四个内容？这四个内容有怎样的逻辑关系？
一、四个内容的数学本质是什么？
1、上下、前后、左右是对一维空间物体位置关系的描述。
一维空间模型是一条线，线无曲直之分，关注的是这条线上两点间的距离。如果规定了原点（参照点）、单位和方向，物体的位置关系则有了上下、前后、左右之别。
2、东、南、西、北的本质是建立平面直角坐标系；东南、东北、西南、西北则是描述平面直角坐标系中点的位置关系。
东、南、西、北以o为参照把平面空间分为了四部分，四个方向成了四个部分的分界线，本质是建立平面直角坐标系。物体在平面内所处的位置关系则由四个分界和所辖区域来描述，东、南之间称为东南；东、北之间称为东北；西、南之间称为 西南；西、北之间称为西北。
3、确定位置的本质是确定平面上点的位置。
用方向和距离确定位置，需要选定参照点，确定一个方向，用角度确定平面上点方向，用距离表示与参照点的远近，本质是用极坐标表示点的位置。描述路线图就是用极坐标表示物体的位置。用数对确定位置，需要选定一个参照点，用一个数表示与参照点水平方向的距离，用另一个数表示与参照点垂直方向的距离来确定平面上点的位置，本质是在平面直角坐标系内表示点的位置 (小学阶段只研究平面直角坐标系的第一象限点的位置关系）。经纬法确定位置的本质也是直角坐标系。
用方向和距离确定平面上点的位置和用数对确定平面上点的位置虽然方法不同，体现了确定位置方法的多样性，但是它们却有着共同点：
1、都要事先选定参照系（原点）。
2、都要用两个数表示确定的位置。用方向和距离确定位置：角度和距离；用数对表示位置：水平与原点的距离数和垂直与原点的距离数。（距离的确定需要用到单位长度，即，多长表示1。）
二、四个内容有着怎样的逻辑关系？

·上下、前后、左右表示了一维空间点的关系；四面八方建立了二维直角坐标系，方向和距离确定位置和数对确定位置，则是用数学的方法确定平面上点的位置关系，实现了点的位置关系的多样化表征，数对（x,y)和极坐标(ρ，θ）则是对位置的数学表达。
·四个内容完整地建立了空间的几何模型，能够多角度、准确地描述平面中点的位置。实现了从一维空间向二维空间的跨越，发展了学生的空间观念。
·在研究空间模型的方法上，高维模型建立的方法则是以低维模型建立的方法为基础进行的，低维模型的位置关系在高维模型中同样适用。
·方向与位置要教给学生什么？
一、在具体情境中体会平面中方向与位置的确定需要参照物，初步体会位置的相对性。
二、用数学的方法确定平面上的位置需要两个数。会用这两个数描述物体的位置。
三、感受生活中确定位置的必要性，体会确定位置方法的发展过程，为学生将来直观理解直角坐标系奠定基础，发展空间观念。
四、初步感知数学思想方法在确定位置中所起的作用。
三、具体内容简析（略）

首先，我们来看上下、前后、左右是什么？
人最初对生活的空间认识是可能混沌的，浑然一体的。比如，“路痴”就是如此，对方向的认识缺乏清晰的认识。为了更好地认识空间，需要对空间的结构进行结构化。

从表中可以看出对图形与位置的要求体现在两个方面：1、会用参照物描述、表示物体的位置，比如：用方向和距离描述位置、用数对表示位置；2、理解位置的相对性，比如：上下的相对性、任意角度两个物体的相对性等等。
课标有了明确要求，教材的编排又是如何来体现这两方面的呢？

一、数学上为什么要学习方向与位置？
原杜郎口中学副校长、现在北京师范大学小学数学工作室研究员任景业老师问刘加霞教授：“东南西北是生活概念，为什么数学中要学呢？它的价值是什么？
刘教授很认真地说：“价值可大了，结构化呀？”
刘教授接着说：“假如我们分不出东南西北，走在大街上岂不像没头的苍蝇到处瞎撞？有方向的划分，我们就有了混沌初开的惊喜，才能使得出行和交流方便。将空间划分为东南西北，就是将空间结构化。”
空间有了结构，人们就能更好地研究、认识我们生活的空间，研究日月星辰、研究宇宙中物体的位置关系。
前后、上下、左右是对一维空间的结构化。一维空间关注的是道路上两点间位置关系和距离。一维空间模型是一条线（如图），如果在线上规定了原点、单位和方向，