《抛物线的性质》教学案例.doc

抛物线的性质教学案例基于几何画板技术与教学实际的整合胡文建【背景分析】 本节课是在学生学习了抛物线的基本性质的基础上进行的，是对抛物线的性质在运用上的进一步的认识。既要注重知识的前后联系，也要体现了知识的灵活性、趣味性和创新性特点。教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以抛物线的三种弦为载体，以培养学生的思维能力，探究能力为重点的教学思想。数形结合的思想始终贯穿其中，体现了新课标的一些基本理念。【教学目标】知识目标：抛物线的相关的基本性质。能力目标：对抛物线的基本性质进行简单乃至较复杂的运用。情感与态度目标：通过数形结合提高学习数学的兴趣，体现数学的美学价值。【教学重点及难点】围绕抛物线的一些基本性质解决抛物线的三种弦的相关问题。【教学关键】如何利用多媒体技术与教学实际进行整合。【教学方法】启发引导，创设情景，注重探究。【案例过程】如图1投影一条带有垂直于对称轴的弦抛物线的图象。并拖动这条弦，且使弦始终与对称轴垂直。学生很惊奇这一动态的演示。师：这是一条抛物线的垂直于对成轴的弦，大家一定很奇怪这条动态的弦是怎么作出来的。教师演示：在抛物线上任取原点除外的一点。以x轴为镜面反射出另一点，然后连接这两点，作出这条弦。师：大家有没有发现我在作这条弦时用到了抛物线的那条性质呢？生：抛物线的对称性。师：很好，今天我们就先来研究抛物线的第一种特殊弦-和对称轴垂直的弦。连接抛物线的顶点和该弦的两个端点，并投影出问题1：已知抛物线y2=2px（p0）,弦ABx轴,AOB=60o，求弦AB的长.（如图2） 学生很快利用该弦的特点和抛物线的对称性解出AB=2yA=4p.师：那么以抛物线的顶点0为一个顶点的内接正三角形OAB的边AB一定关于抛物线的对称轴对称吗？接着投影出问题2：已知点A、B为抛物线y2=2px(p0)上两点，若|OA|=|OB|, 求证:弦ABx轴.一名同学也很快利用点A、B在抛物线上，它们的坐标满足抛物线的方程，以及条件|OA|=|OB|，证出|yA|=|yB|,即弦ABx轴. 师：以上两个问题其实是我对教材的例3所给问题的一个分解，该问题可以充分利用抛物线的与对称轴垂直的弦的特点，来解决抛物线内接正三角形的边长问题，但边AB与x轴垂直是要证明的，这也充分体现了数学解题思维的严谨性，当然我们以后还是可以直接利用这一结论的。如图3再投影一条带有焦点弦的抛物线的图象。并拖动这条弦，且使弦始终过焦点。学生对新的动态演示又产生很高的兴趣。师：这是抛物线的一条焦点弦，大家也一定好奇这条弦我又是如何作出来的。其实我开始作了一个尝试，但是却失败了。演示：在抛物线上取顶点外一点，并与焦点F确定一条直线，结果该直线与抛物线的另一个交点却显示不出来，隐藏了直线就无法连出焦点弦。师：看来作出该直线与抛物线的另一个交点是作出焦点弦的关键，不过这次我先不演示我的做法，大家先看我给出的几个问题，在解决了这几个问题之后便会知道我是如何作出来的。问题1：已知抛物线y2=2px(p0)，过通径AB的端点B作BQ平行x轴交准线于Q点，求证：A、0、Q三点共线. （如图4）学生利用A（,p）,O(0,0),Q(,-p),得出kAO=kBO,从而证出A、0、Q三点共线.拖动A点，把通径变成一条一般的焦点弦（图5），并投影出问题2：已知抛物线y2=2px(p0)，过焦点弦AB的端点B作BQ平行x轴交准线于Q点，求证：A、0、Q三点共线.由于失去了通径的特殊性，学生按照问题1的思路虽可设出A（x1,y1）,O(0,0),Q(,y2), 及算出kAO= =, kBO=,如何证明 kAO=kBO还是存在障碍，此时点拨利用教材习题中抛物线的一个很隐蔽的性质结论，即以x轴为对称轴的抛物线的焦点弦的端点的纵坐标之积y1 y2=-p2,该问题便迎刃而解了。师：问题2还可以引申出几个变式问题，都可利用结论y1 y2=-p2加以解决，例如变式1：已知抛物线y2=2px(p0)，过焦点的直线与抛物线交于AB两点，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于点Q，则BQ平行x轴（教材习题）. 变式2：已知抛物线y2=2px(p0)，点A是抛物线上除顶点外任意一点，直线AO交准线于Q点，过Q作x轴的平行线，交直线AF于B点，则点B必在抛物线上。（如图6）师：变式2其实已经帮我们把AF与抛物线的另一个交点作出来了。下面我给大家作个演示。演示：在抛物线上取顶点外一点A，并与焦点F确定一条直线AF，再连结AO交准线于Q点，过Q作x轴的平行线，交直线AF于B点，用线段连接A、B两点，然后隐藏直线AQ、BQ和AB，一条漂亮的动态的焦点弦便作了出来！如图7再投影一条带有定长弦的抛物线的图象，拖动定长弦，并让学生观察弦的特点。师：该弦有什么特征？生：运动过程中长度保持不变。师：不错，该弦是长度不变的动弦，我们可以称其为定长弦，对于定长弦也有一个很经典的问题，大家请看问题：已知抛物线y2=2px(p0)，动弦AB的长为定值m(m2p)，求AB中点M横坐标的最小值.经过一段时间思考，学生普遍感到手足无措，无从下手。师：由于这种弦只是长度不变，缺乏与x轴垂直或过焦点的特殊性,确实很难入手，但请大家观察，现在我连结AF和BF，这两条线段可称作什么？（如图8）生：焦半径。师：而且当AB不过焦点时，A、B、F三点确定一个三角形，现在大家能否利用三角形的三边的关系定理及焦半径公式找出AB中点坐标与线段AB长度的关系？于是有学生很快得出|AB|师：这样显然是没有最小值的，该不等式能取到等号吗？生：可以，当该弦刚好过焦点时。师：定长弦在运动过程中一定能保证可以过焦点吗？生：不一定，过焦点的弦不应小于通径，而该题目已经给出了该定长弦不小于通径的条件。师：很好，问题解决了，可能同学们还有一个疑问，这种弦老师又是怎么作出来的，不过这次老师可能会让大家失望了，因为这种弦的制作方法相当复杂，老师只是利用别人的成果，老师希望你们能刻苦学习，将来青出于蓝而胜于蓝。【案例反思】信息技术在教学中的应用，给传统教学内容结构带来了强大的冲击。那些强调知识内在联系、基本理论、与真实世界相关的教学内容变得越来越重要，教学过程的多媒化，利用多媒体，尤其是超媒体技术，建立教学内容的结构化、动态化、形象化表示也日益受到重视。计算机辅助教学进人数学课堂，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。几何画板作为一种数学教学应用技术软件，也为学生提供自我动手、探索问题的机会：当面对问题时，学生可以通过思考和协作，提出自己的假设和推理，然后用几何画板进行验证；此外，学生还可以使用几何画板自己做实验来发现、总结一些数学规律和数学现象。计算机辅助教学进人课堂，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。当然，信息技术在数学课堂教学的运用一定要紧扣教学目标和教学内容，要根据不同的教学目标和教学内容的特点去选择、运用不同的信息技术，充分发挥其在教学上的优势.本案例先通过几何画板演示抛物线一条动态的垂直于对称轴的弦，首先引起学生的好奇心，通过对该弦的作法的展示，融入抛物线的相关的对称性质，达到复习旧知的目的。在结下来的教学过程中，还巧妙地将教材的例题进行分解，而不是照本宣科利用教材的例题，结合几何画板作图，由浅入深，充分调动学生思考问题的积极性，并培养学生的思维的严谨性。在以后的每次新问题的出现，都通过展示抛物线的几种特殊弦，设置该种弦的作法的悬念，引发学生探究数学问题的愿望。而在问题的设置上，又充分利用几何画板的动态功能，由特殊到一般进行转化，层层递进，并巧妙利用教材习题的结论，增加学生的知识容量，提高学生运用知识的灵活性。整个教学过程体现了在变式思维下让几何画板技术与教学实际问题达到一个完美的结合，从而使教学过程不断产生新高潮。教师在展示了多媒体技术的神奇的同时，还可适时诱导学生对科学知识进一步的渴望，而这种激励效果也是在一般条件下所难以达到的！4