平面向量讲义.doc

向 量
预习 1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
2．若a，b都是单位向量，则|a－b|的取值范围是________．
3. 如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则＝________(用、表示)．
4．e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知＝e1－ke2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2.若A，B，D三点共线，则k的值是________．
5．已知O是△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若＝x·＋y·且2x＋10y＝5，则cos∠BAC＝________.
6. 如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

7．在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为________三角形．
8、如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.

题型：平面向量的概念辨析
【例】给出下列命题：
①若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中正确命题的序号是________．
变式训练　判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
(6)若与是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(8)任一向量与它的相反向量不相等．
平面向量的数量积知识点
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a和b的数量积(或内积)，记作________．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
两个非零向量a与b垂直的充要条件是________，两个非零向量a与b平行的充要条件是________．
平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_______的乘积．
平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝________；
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔________；
(3)当a与b同向时，a·b＝________；
当a与b反向时，a·b＝________，a·a＝________，|a|＝________；
(4)cos θ＝________； (5)|a·b|________|a||b|.
平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝________(交换律)； (2)(λa)·b＝________＝________(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝________.
平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝________或|a|＝________.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝________.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________.
练习：设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有________(填序号)．
①(ab·b)c－(c·ab)b＝0；②|ab|－|b|<|ab－b|；
③(b·c)ab－(ab·c)b不与c垂直；
④(3ab＋4b)·(3ab－4b)＝9|ab|2－16|b|2.
题型：求两平面向量的数量积的问题
【例】在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD，BC的中点，且AB＝2，EF＝，CD＝.若·＝13，则·的值为________．
变式训练　(1)如图，A，B，C是直线l上三点，P是直线l外一点，
若AB＝BC＝a，∠APB＝90°，∠BPC＝45°，则·＝________.(用a表示)
(2)如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.

(3)在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·＋2的最小值是________．
题型：与向量相关的最值问题
【例】　(1)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于________．
(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为______．
变式训练　(1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
(2)在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为2，则·的最小值为________．
(3)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点Q在BC边上，且BQ＝，点P在矩形内(含边界)，则·的最大值为________．
题型：向量面积之比
【例】　在△ABC所在的平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
变式训练　(1)在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为________．
(2)P为△ABC内一点，＝＋，则△ABP面积与△ABC面积之比为 ．
题型：特殊值法
【例】过三角形ABC重心作一条直线分别交AB，AC于点D，E，若，其中x,y 都不为0，则 .
变式训练　点P是三角形ABC中任意一点，满足，则y+2x的范围是 .
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