第二课时空间向量的坐标运算.doc

第二课时 空间向量的坐标运算
一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）
1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3、设a＝，b＝
(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
（5）模长公式：若， 则．
（6）夹角公式：．
（7）两点间的距离公式：若，，则
(8) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？
5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？
（二）典型题型探析
题型1：空间向量的坐标
例1、（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　）
A. ：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
（3）下列各组向量共面的是（　　）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
（2）A　点拨：由题知或；
（3）A　点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，∴和的夹角为－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。
题型2：数量积
例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。
解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.
又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.
又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。
另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。
(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.
∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.
∴或同理可得或
∵≠，∴或
∴cos<，>=·+·=+=.
∵0≤<，>≤π，∴<，>=。评述：本题考查向量数量积的运算法则。
题型3：空间向量的应用
例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
解析：（1）设=(，，)，=(1，1，1)，
则||=4，||=.
∵·≤||·||，
∴·=++≤||·||=4.
当==时，即a=b=c=时，取“=”号。
（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。
点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
（三）、强化巩固训练
1、(07天津理，4)设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；答案：D
②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；
④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真.
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。
2、已知为原点，向量∥，求．
解：设，
∵∥，∴，，
∴，即
解此方程组，得。
（四）、小结： (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．
（五）、作业布置：课本P56页A组中6、11、12、19
课外练习：限时训练53中2、4、7、9、10、12、14
五、教学反思：