第二课时：平面向量的基本定理及坐标运算.docx

第二课时：平面向量的基本定理及坐标运算
【学习目标】会用坐标表示向量加法、减法与 数乘运算
【学习重点】平面向量的正交分解及其坐标表示、用坐标表示向量加法、减法与 数乘运算．
【学习难点】平面向量的基本定理及坐标表示向量共线的条件．
【学习过程】
一、知识梳理:
1、平面向量基本定理
定理：如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数使= .其中，不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2、夹角
（1）已知两个 向量，作,则，叫做向量的夹角.
（2）向量夹角的范围是 ，同向时，夹角= ；
反向时，夹角= .
（3）如果向量的夹角为 时，则垂直，记作： .
3、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解.
4、平面向量的坐标表示
（1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数，使，把有序数对 叫做的坐标，记作：= ，其中 叫做在轴上的坐标， 叫做在轴上的坐标.
（2）设，则向量的坐标就是 的坐标，即若=，则点的坐标为 ，反之亦成立（是坐标原点）.
5、平面向量的坐标运算
（1）加法、减法、数乘的运算：已知向量和实数，那么= ，= ，= .
（2）向量坐标的求法：已知，则= ，即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标.
6、平面向量共线的坐标表示
（1）若则的充要条件是 .
（2）线段中点坐标公式及推广：设
①则的中点的坐标为 ；②若，设，则= ， .
二、激活思维
1、已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标 ．
2、设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
3、已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋=________．
4、已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值 ．
5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于________．

三、例题分析
题型一　平面向量基本定理的应用
例1、已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于__________.
题型二　平行(共线)垂直向量的坐标运算
例2、(1)已知向量且,求x的值;
(2)在直角三角形ABC中，,求实数k的值.

变式1、平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.

例3、设坐标平面上有三点，分别是坐标平面上轴、轴正方向上的单位向量，若向量，，那么是否存在实数，使三点共线。

变式2、向量，，，且A，B，C三点共线，
求k的值．

变式3、已知向量不共线,,要使能成为平面内所有向量的一组基底,则实数的取值范围是

题型三　向量的坐标运算
例4、在直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，已知，，，若，则实数 .
变式4：已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为______
四、当堂练习：
1、已知向量，，，实数满足，则的最大值为
2、向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，），若a-2b与c共线，则k=______．
3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.
五、课后练习
1、与平面向量=(12,5)平行的单位向量为 。
2、在中，已知是边上一点，若，，则 .
、若三点 。
4、的三个内角所对边的边长分别为，设向量，，若，则角的大小为 .
5、已知向量，则的最小值是 。
6、已知两点点在直线上，且，则点的坐标是 。
7、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=_____________，y=_____________.
8、已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是_______________．
9、已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝| －|，其中O为原点，则实数a的值为________．
A
B
O
C
N
M
10、如图，在中，点是的中点，过点的直线交于不同的两点，若，求的值。

11、已知。
（1）求； （2）当为何值时，与平行，平行时它们是同向还是反向？

12、抛物线上两点满足，已知，求。

13、如图，已知点是的重心
（1）求；
A
Q
G
M
B
P
O
（2）若过的重心，且，，，，求证：。

14、在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使，设线段AN与BM交于点P，记，用表示向量.
P
O
A
B
M
N