具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型的动力学分析.pdf

第40卷 第4期2023年8月工程数学学报CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.40 No.4Aug.2023doi:10.3969/j.issn.1005-3085.2023.04.009文章编号:1005-3085(2023)04-0634-13具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型的动力学分析刘荣1,张凤琴2,(1.山西财经大学应用数学学院，太原 030006;2.运城学院数学与信息技术学院，运城 044000)摘要:针对带斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型，通过构造合适的Lyapunov函数，证明了该模型全局正解的存在唯一性。通过对其构造不同的Lyapunov函数并利用Chebyshev不等式、Borel-Cantelli引理以及指数鞅不等式理论，讨论模型解的随机最终有界性、样本Lyapunov指数的非正性等有关性质。在所有时滞都相等的条件下，利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和强大数定律，给出各个斑块的物种都灭绝的充分条件。最后，给出数值模拟结果：斑块之间的相互作用有利于物种的生存，且时滞越大物种灭绝越慢。所获结果推广和改进了相关文献的部分结果，如去掉了相应文献中全局正解的存在唯一性定理的条件，缩小了相关文献中样本的李亚普诺夫指数的界等。关键词:随机Nicholson-型模型；斑块结构；多时滞；Lyapunov函数；灭绝分类号:AMS(2010)37H10;92B05;60J28中图分类号:O29文献标志码:A0引引引言言言Nicholson利用如下的时滞微分方程来模拟实验室苍蝇的数量1 x(t)=x(t)+Px(t )eax(t),(1)其中x(t)表示t时刻的苍蝇规模，P为每头苍蝇的日产卵量的最大值，1/a是苍蝇以最大速度繁殖的数量，为成年个体的日均死亡率，表示苍蝇的辈次。Gurney等人2利用模型(1)来描述澳大利亚绿头苍蝇的数量。文献35讨论具有密度制约的非线性死亡项的Nicholson飞蝇模型。在此基础上，Liu和Gong6分析一类具有非线性死亡率和变时滞的Nicholson-型系统的持久性。Berzansky等人7提出如下的Nicholson-型时滞系统来描述海洋保护区及慢性B淋巴细胞白血病的动力学行为 x1(t)=a1x1(t)+b1x2(t)+c1x1(t )ex1(t),x2(t)=a2x2(t)+b2x1(t)+c2x2(t )ex2(t),(2)收稿日期:2022-01-28.作者简介:刘荣(1988)，男，博士，副教授.研究方向：生物数学.基金项目:国家自然科学基金(12071418;12001341).通讯作者:张凤琴E-mail:第4期刘荣，等：具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型的动力学分析635其初始条件为xi(s)=i(s)C(,0,(0,+)(i=1,2)，参数ai、bi、ci和均为非负常数。Faria8利用如下具有斑块结构和多时滞的Nicholson-型模型来描述单物种的动力学行为 xi(t)=dixi(t)+nj=1aijxj(t)+mj=1ijxi(t ij)exi(tij),i=1,2,n,(3)其初始条件为xi(s)=i(s)C(,0,(0,+),=max1in,1jmij,i=1,2,n,(4)这里xi(t)为物种在斑块i中的密度，di为物种在斑块i中的死亡率，aij代表物种从斑块j到斑块i的迁移系数，每个斑块中的物种的增长都是Nicholson-型的。然而，在现实世界中，物种的动力学不可避免地受到一些不确定因素的干扰。目前已有大量的文献研究随机种群动力学模型，文献9讨论如下的随机时滞Nicholson飞蝇模型dx1(t)=d1x1(t)+11x1(t 11)ex1(t11)dt+1x1(t)dB1(t).(5)文献10在模型(5)的基础上引入Markov切换，并讨论其动力学行为。基于模型(2)，Yi和Liu11研究如下的随机Nicholson-型时滞系统dx1(t)=d1x1(t)+a12x2(t)+11x1(t )e1x1(t)dt+1x1(t)dB1(t),dx2(t)=d2x2(t)+a21x1(t)+21x2(t )e2x1(t)dt+2x2(t)dB2(t).(6)注意到由白噪声引起的参数扰动是描述随机效应的一种重要而常见的形式12。本文假设模型(3)中的死亡率di均受到白噪声的干扰，即di di+iBi(t)(i=1,2,n)。在模型(3)的基础上，按照上述方式引入白噪声，可得It o型随机模型dxi(t)=dixi(t)+nj=1aijxj(t)+mj=1ijxi(t ij)exi(tij)dt+ixi(t)dBi(t),i=1,2,n,(7)其中B(t)=(B1(t),B2(t),Bn(t)T为定义在完备滤波概率空间(,F,Ftt0,P)上的n维标准Brownian运动，2i(i=1,2,n)为白噪声Bi(t)(i=1,2,n)的强度，其他参数的含义与模型(3)中的意义相同，且假设di 0,aii=0,aij 0(j=i),ik 0,ik 0(i=1,2,n,k=1,2,m)。在后续的讨论中，模型(7)满足初始条件(4)。与现有工作比较，本文的模型具有如下特点：若n=m=1，则模型(7)退化为文献9中所讨论的=1的模型；若n=2,m=1且11=21=，则本文的模型可转化为文献11中所分析的1=2=1的模型。因此，本文的模型推广和改进了部分现有模型。636工程数学学报第40卷1主主主要要要结结结果果果及及及证证证明明明本节将围绕具有初始条件(4)的模型(7)进行讨论。假设参数满足条件：(A)假设i.=mk=1ik 0(i=1,2,n)，且存在=(ij)nn(ij 0)，使得Qi.=2di 2inj=1(ijaij+ajiji)0.为研究方便，本文引入记号Ci=min2iQie2,Q2i+(2i/e)2 Qi2,g=ming1,g2,gn,g=maxg1,g2,gn,ai=nj=1aji,=mind1 a1,dn an.类似文献13中定理3.1的证明，定义V(x1,x2,xn)=ni=1(xi 1 lnxi)，并应用It o公式和supx0 xex=1e,u 2(u 1 lnu)+2,u 0,可得模型(7)全局正解的存在唯一性定理。定理1对初始条件(4)，模型(7)有唯一的全局正解x(t)=(x1(t),x2(t),xn(t)T，即对任意的t 0,+)，依概率1有x(t)Rn+=(x1,x2,xn)Rn:xi 0,1 i n。注1依照定理1，模型(5)全局正解的存在唯一性去掉了文献9中的条件d121/2。于是，定理1改进了文献9中的相应结果。定理2设x(t)=(x1(t),x2(t),xn(t)T为模型(7)相应于初值条件(4)的解。(i)若di ai，则limsupt+Eni=1xi(t)ni=1ie.进而，由Chebyshev不等式知各个斑块中的物种都是随机最终有界的。(ii)若d+2/2n a 0，则0 liminft+ni=1xi(t)ni=1ie(d+(2/2n)a).=K,a.s.(iii)若假设(A)成立，则解满足limsupt+1tt0Eni=1x2i(s)ds ni=1(42i/Qie2)minQ1,Q2,Qn.=K,limsupt1tln1+ni=1x2i(t)nC,(di+2i2)liminft1tlnxi(t)limsupt1tlnxi(t)nC2.第4期刘荣，等：具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型的动力学分析637证明(i)定义V1(t,x1,x2,xn)=etni=1xi。由It o公式可得dV1(x1(t),x2(t),xn(t)=LV1(x1(t),x2(t),xn(t),x1(t ),x2(t ),xn(t )dt+etni=1ixi(t)dBi(t).(8)由于supx0 xex=1/e且=mind1 a1,dn an，于是有LV1(x1,x2,xn,y1,y2,yn)=etni=1xi+etni=1 dixi+nj=1aijxj+mj=1ijyieyini=1ieet.(9)对(8)式两边同时从0到t进行积分，应用(9)式并同时取数学期望可得Eni=1xi(t)etni=1xi(0)+ni=1ie(1 et).于是，结论(i)成立。(ii)若结论不成立，则存在 0，使得liminft+ni=1xi(t)=K+2,a.s.对上述存在常数T 0，使得当t T时，有ni=1xi(t)K+a.s.。由It o公式可得lnni=1xi(t)t0d+a 22n+ni=1ieni=1xi(s)ds+lnni=1xi(0)+ni=1Mi(t),其中Mi(t)=t0ixi(s)ni=1xi(s)dBi(s),且其二次变分为Mi,Mit=t02ix2i(s)(ni=1xi(s)2ds 2it.于是，由强大数定律可得limsupt+1tlnni=1xi(t)limsupt+1tt0d+a 22n+ni=1ie(K+)ds 2lnk1k2.由于k=01k2 0.521，则limsupt+1tt0Ex21(s)ds 4211e2(2d1 21)2,limsupt1tlnx1(t)C12,a.s.,其中C1=min211e2(2d1 21),(2d1 21)2+(211/e)2(2d1 21)2.注2对于模型(5)，由文献9知，若d1 0.521成立，则limsupt+Ex1(t)11d1e,limsupt1tlnx1(t)K2,a.s.,其中K=min211/e2(2d1 21),11/e。显然，推论1中的(i)去掉了文献9中的条件d1 0.521。此外，由C1 K知，推论1中的(ii)缩小了文献9中的样本Lyapunov指数的界。于是，定理2推广了文献9中的相应结果。对模型(6)，类似定理2的证明可得如下结论。640工程数学学报第40卷推论2若.=(d1 d2)+0.25(21 22)(a21 a12)0成立，则模型(6)的解满足0 liminft+x1(t)+x2(t)11+21e,a.s.注3推论2的结果并没有在文献11中体现。因此，本文的工作可视为文献11的扩展。定理3记x(t)=(x1(t),x2(t),xn(t)T为模型(7)相应于条件(4)的解。假设ij=,i i。若Qi i i 0，则limsupt+1tlnni=1x2i(t),limsupt+1tlnxi(t)2,limt+xi(t)=0,a.s.,其中=min1,2,n，i为方程ieii+i=Qi i i的唯一根，i(0,Qi i i)。证明记x=(x1,x2,xn)。令etV3(t,x)=etni=1x2i+ni=1ittg(xi(s)ds,g(xi)=x2ie2xi.对任意的T 0，利用It o公式和Cauchy-Schwarz不等式，可得eTEV3(T,x(T)V3(0,x(0)+ET0etni=1(+i+i Qi)x2i(t)+ni=1ittg(xi(s)dsdt.类似文献10的讨论，可得不等式T0etttni=1ig(xi(s)dsdt 2e2ni=1i+eT0etni=1ix2i(t)dt.从而，有eTEni=1x2i(T)V3(0,x(0)+2e2ni=1i,即limsupt+1tlnE(ni=1x2i(t).对任意的 (0,/2)存在M 0，使得Eni=1x2i(t)Me()t,t .第4期刘荣，等：具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型的动力学分析641此外，对k=1,2,，利用H older不等式，得x2i(k+1)3x2i(k)+9k+1kd2ix2i(t)dt+9nk+1knj=1a2ijx2j(t)dt+9k+1k2ix2i(t )dt+3k+1kixi(t)dBi(t)2.于是，由Burkholder-Davis-Gundy不等式14知，存在与k无关的正常数C且允许其在不同的行值不同，使得Esupktk+1ni=1x2i(t)3Eni=1x2i(k)+Ck+1kEni=1x2i(t)+Eni=1x2i(t )dt.于是，有Esupktk+1ni=1x2i(t)Ce()k.从而，由Chebyshev不等式知P:supktk+1ni=1x2i(t)e(2)k Cek.由于k=0Cek 11，若2d1 21 11 1 0成立，则模型(5)的解x1(t)满足limsupt+1tlnx21(t)1,a.s.,其中1为方程1+1111e111=2d1 21 11 1的唯一根。注5若文献10中的状态空间S中仅有一个状态，则可得模型(5)。由文献10中定理2.6可得与推论3相同的结果。然而，该结果并没有在文献9中体现。对模型(6)，类似定理3的证明可得如下结论。642工程数学学报第40卷推论4对任意的i i1，若2di 2i(a12+a21)i1 i 0，则模型(6)的解满足limsupt+1tlnx2i(t)1,a.s.,其中=min1,2且i为方程i+ie=2di 2i(a12+a21)i1 i的唯一根。注6显然，推论4的结果并没有在文献11中体现。于是，定理3可视为文献11的延拓。类似定理2的证明，应用It o公式和强大数定律，可得如下定理。定理4设x(t)=(x1(t),x2(t),xn(t)T为模型(7)相应于初始条件(4)的解。(i)若=0且.=d+2/2n a 0，则limt+ni=1xi(t)=0,a.s.(ii)若ij=0(i,j=1,2,n)且.=d+2/2n a 0，则limt+ni=1xi(t)=0,a.s.注7定理4表明，在一定条件下，各个斑块中的物种都将灭绝。由和的定义可以看出，白噪声不利于物种的生存。此外，由于 0时灭绝，那么其必在ij=0时灭绝。2数数数值值值模模模拟拟拟本节利用Milstein方法15，给出数值模拟来验证主要结果的有效性。考虑如下例子dx1(t)=d1x1(t)+a12x2(t)+11x1(t 11)ex1(t11)+12x1(t 12)ex1(t12)dt+1x1(t)dB1(t),dx2(t)=d2x2(t)+a21x1(t)+21x2(t 21)ex2(t21)+22x2(t 22)ex2(t22)dt+2x2(t)dB2(t),(12)其初始条件为x1(t)=1,x2(t)=0.5,t ,0。(I)取d1=0.6,a12=0.3,11=0.4,12=0.3,11=2,12=4,1=0.05,d2=0.8,a21=0.2,21=0.3,22=0.4,21=1,22=2,2=0.03。于是，由定理1可知，系统(12)在R+2中有唯一的全局解。令ij=1，则由定理2可得limsupt+Ex1(t)+x2(t)1.287 6,liminft+x1(t)+x2(t)0.857 7,limsupt+1tt0Ex21(s)+x22(s)ds 0.891 2.数值模拟结果，如图1所示。第4期刘荣，等：具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型的动力学分析643(a)a12=0.3,a21=0.2时，模型的解(b)a12=a21=0时，模型的解(c)a12=0.3,a21=0.2时，解的数学期望(d)a12=0.3,a21=0.2时，解的二阶矩图1取参数如(I)时，系统(12)的数值解(II)为验证定理3，取d1=0.6,a12=0.2,11=0.1,12=0.2,21=0.1,d2=0.8,a21=0.1,21=0.2,22=0.1,22=0.2。令i=0.499 5，则i=0.499 5 0.3=i(i=1,2)。若令ij=4(i,j=1,2)，则通过简单计算，可得=0.000 166 7。于是，由定理3知limsupt+1tlnxi(t)2,limt+xi(t)=0.如果取ij=16，则=0.000 055 56。由定理3知limsupt+1tlnxi(t)2,limt+xi(t)=0.数值模拟结果，如图2所示。(III)为验证定理4，取d1=0.6,a12=0.2,21=0.1,d2=0.8,a21=0.1,22=0.2。若取11=22=0.1,12=21=0.2,=0，则=0.125 0。于是，由定理4知limt+xi(t)=0；若取ij=0(i,j=1,2,n)，则=0.425 0。由定理4可得limt+xi(t)=0。数值模拟结果，如图3所示。644工程数学学报第40卷(a)ij=4时，解的样本Lyapuno指数(b)ij=4时，模型的解(c)ij=16时，解的样本Lyapuno指数(d)ij=16时，模型的解图2取参数如(II)时，系统(12)的数值解(a)=0(b)ij=0图3取参数如(III)时，系统(12)的数值解第4期刘荣，等：具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型的动力学分析6453结结结论论论与与与评评评注注注本文分析一类具有斑块结构和多时滞的随机Nicholson-型模型。首先，通过构造合适的Lyapunov函数，我们得到模型(7)全局正解的存在唯一性；并给出一些有关解的估计式。其次，当ij=时，本文给出所有斑块中的物种都灭绝的条件。最后，当=0和ij=0时，我们分别建立了种群灭绝的条件。第一，比较图1(a)和图1(b)可以看出：若a12=a21=0，即每个斑块都是封闭的，则斑块1中的物种将继续生存，而斑块2中的物种将灭绝。若a12 0,a21 0，即每个斑块都是互通的，则斑块1和斑块2中的物种都将继续生存。该结果表明斑块间的相互作用有利于种群的生存。第二，通过比较图2(a)和图2(c)可以看出：在其他参数给定的前提下，时滞越大，解的样本Lyapunov指数的界就越小。第三，比较图2(b)和图2(d)可知：模型的解在较大时滞下，趋于0的速度越慢。这验证了定理3结论的正确性。最后，通过比较图3(a)和图3(b)可以看出：若物种在=0时灭绝，则其必在ij=0时灭绝，且模型的解在=0时，趋于0的速度更慢。这验证了注7的结果。本文的结果推广和改进了目前已有的相关结果。特别地，本文的工作可以视为文献911的推广。参参参考考考文文文献献献：1 NICHOLSON A.An outline of the dynamics of animal populationsJ.Australian Journal of Zoology,1954,2(1):9-65.2 GURNEY W S C,BLYTHE S P,NISBET R M.Nicholsons blowflies revisitedJ.Nature,1980,287(5777):17-21.3 TANG Y.Global asymptotic stability for Nicholsons blowflies model with a nonlinear density-dependentmortality termJ.Applied Mathematics and Computation,2015,250:854-859.4 YAO L G.Dynamics of Nicholsons blowflies models with a nonlinear density-dependent mortalityJ.Applied Mathematical Modelling,2018,64:185-195.5 YAO L G.Global attractivity of a delayed Nicholson-type system involving nonlinear density-dependentmortality termsJ.Mathematical Methods in the Applied Sciences,2018,41(6):2379-2391.6 LIU B W,GONG S H.Permanence for Nicholson-type delay systems with nonlinear density-dependentmortality termsJ.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2011,12(4):1931-1937.7 BEREZANSKY L,IDELS L,TROIB L.Global dynamics of Nicholson-type delay systems with applica-tionsJ.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2011,12(1):436-445.8 FARIA T.Global asymptotic behaviour for a Nicholson model with patch structure and multiple delaysJ.Nonlinear Analysis,2011,74(18):7033-7046.9 WANG W T,WANG L Q,CHEN W.Stochastic Nicholsons blowflies delayed differential equationsJ.Applied Mathematics Letters,2019,87:20-26.646工程数学学报第40卷10 ZHU Y L,WANG K,REN Y,et al.Stochastic Nicholsons blowflies delay differential equation with regimeswitchingJ.Applied Mathematics Letters,2019,94:187-195.11 YI X,LIU G R.Analysis of stochastic Nicholson-type delay system with patch structureJ.Applied Math-ematics Letters,2019,96:223-229.12 MAY R M.Stability and complexity in model ecosystemsM.Princeton:Princeton University Press,1973.13 GRAY A,GREENHALGH D,HU L,et al.A stochastic differential equation SIS epidemic modelJ.SIAMJournal on Applied Mathematics,2011,71(3):876-902.14 MAO X R.Stochastic differential equations and applicationsM.Chichester:Horwood Publishing Limited,2007.15 HIGHAM D J.An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equationsJ.SIAM Review,2001,43(3):525-546.Dynamics of Stochastic Nicholson Model with Patch Structure andMultiple DelaysLIU Rong1,ZHANG Fengqin2,(1.School of Applied Mathematics,Shanxi University of Finance and Economics,Taiyuan 030006;2.School of Mathematics and Information Technology,Yuncheng University,Yuncheng 044000)Abstract:The stochastic Nicholson model with patch structure and multiple delays is consid-ered.Firstly,the existence of a unique global positive solution is established by constructing aproper Lyapunov function.Next,by constructing suitable stochastic Lyapunov functions,andusing Chebyshev inequality,Borel-Cantelli lemma and exponential martingale inequality,theproperties of the solution,such as stochastic ultimate boundedness and non-positivity of sam-ple Lyapunov exponents,etc.,are studied.Then,under the condition that all time delays areequal,the sufficient conditions for the extinction of species in each patch are given by using theBurkholder-Davis-Gundy inequality and a strong law of large numbers.Finally,some numericalresults are presented,which shows that the interaction between patches has the advantage ofpopulation survival,and the greater the time delay,the slower the extinction of species.Theresults generalize and improve the previous related results,such as removing the condition ofthe existence and uniqueness theorem of global positive solutions and narrowing the boundaryof the sample Lyapunov exponents in related literature.Keywords:stochastic Nicholson model;patch structure;multiple delays;Lyapunov function;extinctionReceived:28 Jan.2022.Accepted:24 June 2022.Foundation item:The National Natural Science Foundation of China(12071418;12001341).Corresponding author:F.Zhang.E-mail address: