2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析.docx

2018年1月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷（B卷）
一、 选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、 已知集合，，则（ ）
. . . .
2、 对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）
. . . .
3、 已知函数，设，则（ ）
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4、 设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）
. . . .
5、 设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）
. . . .
6、 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
. . . .
7、 某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）
. . . .
8、 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）
. . . .

9、 若实数满足，则的最小值为（ ）
. . . .
10、 如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）
. .
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11、 设的内角的对边分别为，若，则（ ）
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12、 函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）
. . . .
13、 设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）
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14、 设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不正确的是（ ）
. . . .
15、 已知数列的前项和，则（ ）
. . . .
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
16、 双曲线的离心率为 .
17、 若，且，则 .
18、 笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
19、 圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是 .
三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
20、 若等差数列满足，且.
（1） 求的通项公式；
（2） 设数列满足，，求数列的前项和.
21、 如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂直平分，且分别交于点.
（1） 证明：；
（2） 证明：.

2018年1月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷（B卷）答案解析
一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、 B 解析：，故选B.
2、 B 解析：对于B项，令，则，而，显然不成立，故选B.
3、 C 解析： ，故选C.
4、 D 解析： ，故选D.
5、 C 解析：由已知可得，，故选C.
6、 B 解析：对于A项，，错误；
对于B项，，，则，正确；
对于C项，，错误；
对于D项，，错误. 故选B.
7、 A 解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数为，故选A.
8、 C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.
9、 D 解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以的最小值为，故选D.
10、 D 解析：对于A项，，错误；
对于B项，，错误；
对于C项，，错误；
对于D项，，正确. 故选D.
11、 A 解析：由余弦定理，得，又 ，故选A.
12、 A 解析：，最小正周期为，故选A.
13、 B 解析：
，故选B.
14、 D 解析：对于A项，为上的奇函数 ，正确；
对于B项，为上的减函数 ，正确；
对于C项，
，正确；
对于D项，
，错误. 故选D.
15、 C 解析：当时，；当时，适合上式. 是首项为，公比为的等比数列 ，故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
16、 解析：由已知，得
双曲线的离心率为.
17、 解析：，且
.
18、 解析：.
19、 解析：联立得
则圆心到直线的距离为，故圆的半径为
圆的标准方程为.
三、 解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
20、解：（1）设等差数列的公差为.

数列的通项公式为.
（2） 由（1）知，
又适合上式
数列是首项为，公差为的等差数列.

21、 解：（1）证明：垂直平分 为的中点
又为的中点 为的中位线
又
（2） 证明：连接
，为的中点
垂直平分
又，
又

又，
又

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