指数函数教案设计.docx

指数函数
教学分析
有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图像以及研究指数函数的性质．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标
1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．
2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．
3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．
重点难点
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．
内容回顾
3.1正整数指数函数 y=ax(a>0,a≠1,x∈N)
3.2指数的扩充及指数运算
1． 指数函数的概念
通过正整数指数函数的概念和指数的扩充和指数运算的扩充，我们知道像y=ax(a>0,a≠1,x∈N)这样的正整数指数函数在x取零，负整数，分数，甚至是无理数时，对应的y都是存在且唯一的,分别是1，整数指数幂，分数指数幂和无理数指数幂。这使得对于任何a, (a>0,a≠1)对应的正整数指数函数y=ax，这个函数的定义域都可以从正整数集扩充到实数集。此时
函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)叫作指数函数．
如何理解指数函数的定义
(1)指数函数的定义域是实数集R.
(2)底数a大于零且不等于1的理由：
若a＝0，那么当x＞0时，ax≡0(“≡”表示恒等于)，当x≤0时，ax无意义；
若a＜0，那么对于x的某些数值，如，可使ax无意义；
若a＝1，那么对任何的x∈R，ax≡1，对它没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义，而且有研究的必要．
(3)指数函数解析式的结构特征：
在指数函数y＝ax中，ax的系数必须是1，自变量x必须出现在指数的位置上，底数a是一个大于0而不等于1的常量．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋k(a＞0，a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x(a＞0，a≠1)，这是因为它的解析式可以等价化归为，其中，.
指数函数结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．
(4)“形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数”，这是非常有用的函数模型——指数增长型．

2．指数函数y＝2x和的图像和性质
(1)图像：在同一直角坐标系中用描点法画出函数y＝2x和的图像．由图可以看出，两个函数图像的相同点是都位于x轴的上方，都过点(0,1)；两个函数图像的不同点是函数y＝2x的图像是上升的，函数的图像是下降的．两个函数的图像关于y轴对称．

(2)性质：定义域都是实数集R，函数值都大于0；20＝＝1；函数y＝2x是R上的增函数，函数是R上的减函数．
(3)正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)和实数指数函数y＝2x(x∈R)的图像都是上升的，在各自的定义域上都是增函数，但它们的图像不同，函数y＝2x(x∈N＋)的图像是一些孤立的点，这些点都在函数y＝2x(x∈R)的图像上；函数y＝2x(x∈R)的图像是一条连续的曲线．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质

a＞1
0＜a＜1
图像

性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
指数函数反映了实数与正实数之间的一种一一对应关系．
可以回想一下，我们之前学过的函数中有没有是实数到正实数的一一对应，没有。

4．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的底数a对函数图像的影响
(1)一般地，当a＞b＞1时，函数y＝ax和y＝bx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数都是R上的增函数；

当x＜0时，总有0＜ax＜bx＜1；
当x＝0时，总有ax＝bx＝1；
当x＞0时，总有ax＞bx＞1；
指数函数的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快．
(2)当0＜b＜a＜1时，函数y＝ax和y＝bx的图像如图所示．

由图像可以看出：两个函数都是R上的减函数；
当x＜0时，总有bx＞ax＞1；
当x＝0时，总有ax＝bx＝1；
当x＞0时，总有0＜bx＜ax＜1；
指数函数的底数越小，当x＜0时，其函数值减少得就越快．
5．函数y＝ax与函数的图像间的关系
一般地，在同一坐标系内画出函数y＝ax(a＞1)和函数
(a＞1)的图像，可以发现，二者的图像关于y轴对称，如下图所示．

下面从点关于线对称的角度，加以说明．
设P(m，n)为函数y＝ax图像上任意一点，其关于y轴的对称点为P′(－m，n)．显然，对于函数，当x＝－m时，＝(a－1)－m＝a(－1)×(－m)＝am＝n，
即点P′(－m，n)在函数的图像上，所以函数y＝ax与函数的图像关于y轴对称．

基本能力
6．指数幂大小的比较方法
设y1＝40.9，y2＝80.48，，则(　　)．
A．y3＞y1＞y2　　　B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3
解析：从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，＝(2－1)－1.5＝21.5.
因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y1＞y3＞y2.
答案：C